Кільце відрахувань - студопедія

Цілі числа a, b можна порівняти по модулю n. якщо при розподілі на число n ці числа дають один залишок (a mod n = b mod n).

При розподілі на n можливі значення залишку 0,1, ..., n -1.

Позначимо [k] - клас порівнянних між собою чисел, що дають при діленні на n залишок k. Наприклад, для n = 4 утворюється чотири класи:

Таким чином, при розподілі на n утворюється n класів [0], [1], ..., [n -1]. Ці класи називаються класами лишків за модулем n. Безліч Zn = n -1]> називається повною системою відрахувань. Надалі квадратні дужки будемо опускати Zn = n -1>.

Число з класу [a] має вигляд in + a. З'ясуємо, до якого класу потрапить сума чисел з класів [a], [b]:

Це число при діленні на n дає залишок ((i + j) n + (a + b)) mod n = (a + b) mod n. Таким чином, сума будь-яких двох чисел з класів [a], [b] належить класу [(a + b) mod n]. Відповідно до цього на безлічі Zn введемо операцію складання:

У цьому співвідношенні зліва використовується алгебраїчна операція над елементами a, b ÎZn. Праворуч - арифметичні операції над числами a, b, n.

Властивості введеної операції додавання:

· Операція коммутативна і асоціативна, оскільки коммутативна і асоціативна арифметична операція додавання в правій частині співвідношення a + b = (a + b) mod n.

Таким чином, алгебра A = утворює абелевих груп щодо операції додавання.

Тепер з'ясуємо, до якого класу потрапить твір чисел з класів [a], [b]:

Це число при діленні на n дає залишок (ab) mod n.

Тому операція множення на безлічі Zn визначається як:

У цьому співвідношенні зліва - алгебраїчна операція над елементами a, b ÎZn. Праворуч - арифметичні операції над числами a, b, n.

Властивості введеної операції множення:

· Операція множення коммутативна і асоціативна, оскільки коммутативна і асоціативна арифметична операція множення в правій частині співвідношення a * b = (ab) mod n.

Отже, алгебра A = утворює абелевих груп щодо операції додавання, є полугруппой щодо множення (множення асоціативно), і множення дистрибутивно щодо складання, отже, алгебра A - кільце.

Таку алгебру називають кільцем відрахувань.

Крім того, в кільці відрахувань виконується умова коммутативности множення, отже, дана алгебра є комутативним кільцем.

Якщо n - складене, то кільце відрахувань містить подільники нуля. Дійсно, якщо n = kl. тоді по визначенню множення k * l = (kl) mod n = 0.

Результати операцій додавання множення і віднімання в A = представлені в табл.1.2-1.4 відповідно. Дільниками нуля є пара елементів a = 2, b = 2.

Схожі статті

• Визначення пікового струму - студопедія

• Правила відображення операцій в платіжному балансі по дебету і кредиту - студопедія

• Ембріональний розвиток - студопедія