Якщо від 0 до 1 нескінченну кількість чисел, то як завершується нескінченність і починається 1

PhD, senior scientist AI, неандерталець

У питанні присутня парадокс про Ахиллесе і Черепаху. До числах таке поняття, як "завершується", не особливо-то може бути застосовано.

В даний час в математиці числа вводяться чисто формально, як символи або їх послідовності. Якщо говорити про цілих числах, то на відрізку від 0 до 1 аж ніяк їх не нескінченність, а тільки 2: власне 0 і 1.

Раціональні числа - дроби між 0 і 1 - вводяться як впорядковані пари з позитивних чисел (m, n), таких, що m

(Чисто формально слід додати, що наведене вище безліч не містить нуля, його потрібно додавати окремо).

Дійсні числа в проміжку від 0 до 1 вводяться як нескінченні послідовності цифр від 0 до 9 - знаків після коми - по відношенню еквівалентності abc. n (9)

abc. [N + 1] (0), де n не дорівнює 9. Таких послідовностей, знову-таки, нескінченно багато, і серед них є одна, яка відповідає 1, а саме, як не парадоксально, (9). А от з'ясувати, що ми маємо справу саме з цією послідовністю, за кінцеве число кроків не можна - перевіривши стопіццот тисяч мільен Мільярде чисел в послідовності, ми не можемо бути впевнені, що десь далі не вискочить вісімка.

Існують і інші види (точне сказати, безлічі) чисел - р-адіческіе або, скажімо, розширення раціональних (наприклад, на зразок x + y sqrt (2), де x і y - дроби). Але в цілому перевірка того, чи є число одиницею, зводиться до чогось подібного до того, що було описано вище. Або можливо за кінцеве кількість кроків дізнатися, що ми маємо справу з одиницею (або іншим числом з безлічі), або ж ні.

Це, до речі, знаходить своє певне відображення в комп'ютерній техніці. Так, для цілих типів (int, byte, long) має сенс оператор порівняння m == n, а для float і double - немає. І не важливо що double - в общем-то кінцеві послідовності, та й кількість байт під double-змінну виділяється той же, що і під Int64, так що в принципі порівняти, чи рівні два double числа, можливо. Вважається, однак, що такі змінні виникають з обчислень, які за визначенням дають неточні значення, через що у машини sqrt (2) ^ 2 цієї статті не буде точно дорівнювати 2. Тому в таких випадках "рівність" двох double-чисел перевіряється як оцінка величини їх різниці. Якщо різниця мала, то і числа кагбе рівні. Для інженерних задач цього вистачає.

А в чому, власне, парадокс? Ми можемо знати початкове значення і кінцеве, але послідовність буде нескінченною, ми ніколи не доберемося до кінцевого значенням.

Я, наприклад, уявив собі такий уявний експеримент:

Побудуємо уявну кільцеву залізницю, яка починається і закінчується там, де ми стоїмо. Але поїхавши по ній, ми ніколи не приїдемо на кінцеву станцію, тому що дорога буде мимовільно подовжуватися швидше, ніж ми рухаємося (або з такою ж швидкістю) і шлях буде нескінченно довгим, хоча ми знаємо, де він закінчується.

Нескінченність - це не число. Це функція, значення якої буде прагнути до нескінченності. Тобто залізниця постійно зростатиме, ставати довшим, і ми ніколи не "приїдемо" до одиниці.

Можу бути корисний в деяких питаннях логіки, філософії, релігії.

Нескінченність дійсно ніколи не закінчується. Що не заважає сучасній науці ігнорувати очевидне протиріччя - якщо перша нескінченність ніколи не закінчується, то звідки поруч з нею береться друга нескінченність? Математики вирішують цю задачу вводячи межа нескінченності. Наприклад, одна нескінченність від 0 до 1, друга від 1 до 2 і т.д. Причому, на будь-якому відрізку всередині цих нескінченностей можна знайти скільки завгодно інших нескінченностей. Тільки ось межі у нескінченності не буває за визначенням. На це математика закриває очі. Втім, вчених зрозуміти можна - математика дає результат. Та ще й який! Вся сучасна цивілізація з її комп'ютерами, електростанціями, системами зв'язку, логістикою і багатьом іншим без математики була б просто немислима. А якщо щось працює, то навіщо в ньому сумніватися?