Як проводиться розрахунок найпростіших статично невизначених балок
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Він може бути проведений, наприклад, з використанням універсального рівняння пружної лінії балки (інший з можливих способів наводиться в бесіді 15). Розглянемо, наприклад, один раз статично
невизначну балку (рис. 7.17).
Для визначення трьох реактивних зусиль ми маємо поки тільки два рівняння статики:
Третє додаткове рівняння, необхідне для розкриття статичної невизначеності, можна отримати, записавши умови рівності нулю прогину на шарнірної опорі:.
При. тобто в закладенні, прогин і кут повороту перерізу. Тому умова відсутності прогину в точці B може бути представлено у вигляді:
Тепер ми маємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими:
Вирішуючи її, знаходимо:
Таким чином, статична невизначеність балки нами розкрита.
Перш за все, відзначимо, що в цій розмові мова буде йти про оцінку міцності не тільки тіла, а про міцність матеріалу в окремо взятій його точці. Нагадаємо, що в разі лінійного НС оцінка міцності в досліджуваній точці тіла досить легко проводиться шляхом безпосереднього зіставлення виникає в ній розрахункового напруги або з граничним. або з допускаються напругою.
Коефіцієнт запасу міцності дорівнює відношенню граничної напруги до розрахункового:.
Стан матеріалу, при якому хоча б в одній точці тіла відзначено виникнення плинності або ознак крихкого руйнування, розглядається як граничне, то естьсоответствующее початку порушення міцності всього тіла. Відповідне цього стану напруга називається граничним.
Для пластичних матеріалів за максимальне напруження приймається межа плинності. а для тендітних - межа міцності.
Розрахунок на міцність, заснований на такому поданні про граничному стані тіла, називається розрахунком по небезпечній точці або розрахунком по напрузі, що допускається.
У сучасній практиці, однак, застосовують і інші методи розрахунку, наприклад, у розмірі граничної навантаженням або несучої здатності, по розрахунковим граничними станами і т. Д. Ці методи засновані на інших уявленнях про граничні станах тіла. У цьому посібнику ці методи не розглядаються.
Нагадаємо також, що ми будемо віддавати перевагу термінам «граничний стан» і «максимальне напруження». замість термінів «небезпечний стан» і «небезпечне напруга». які використовуються в деяких підручниках з опору матеріалів.
8.1. Як підійти до оцінки міцності матеріалу в загальному випадку навантаження, тобто при об'ємному НС?
Різноманітність НС безмежно і створити кожне з них в лабораторних умовах для визначення граничного стану для всіх матеріалів неможливо як з технічних, так і з економічних причин.
Тому бажано мати практичну можливість оцінки міцності певного матеріалу, що зазнає постійного будь-якого складного НС, маючи в своєму розпорядженні при цьому тільки обмеженими досвідченими даними про його властивості, наприклад, тільки значеннями граничних напружень при одноосьовому розтягуванні і стисненні.
Це стає можливим при застосуванні так званих гіпотез міцності (або теорій граничних НС).
Будемо називати два НС еквівалентними. якщо вони одночасно переходять в граничні при збільшенні відповідних їм головних напружень в одне і те ж число раз. Це означає, що коефіцієнти запасу міцності для еквівалентних НС однакові.
Залишається вирішити питання, що ж є критерієм еквівалентності різних за характером НС. Якщо рішення цього питання якимось чином знайдено (його якраз і дають гіпотези міцності), тоді для розрахунку стержня на міцність в разі складного НС його слід замінити на еквівалентну одновісне розтягнення (стиснення) і порівняти відповідне йому еквівалентне напруження з граничним (або допускаються ) напругою для даного матеріалу.
Цей підхід до оцінки міцності при об'ємному НС ілюструється умовною схемою, показаної на рис. 8.1.
8.2.
Який сенс вкладається в поняття «еквівалентне напруження»?
З наведених міркувань випливає, що еквівалентне напруження - це лише деяка уявна умовна розрахункова величина, а не якесь реально виникає напруга. Значення еквівалентного напруги залежить не тільки від заданого типу НС (тобто від значень, що відповідають йому головних напружень), але і від прийнятого для розрахунку міцності критерію еквівалентності НС. Тому, зокрема, не можна говорити, що еквівалентне напруження виникає в певній точці. Слід говорити про визначення (або обчисленні) еквівалентного напруги для досліджуваної точки.
8.3. Що називається гіпотезами міцності?
Гіпотези, що вказують критерії еквівалентності різних НС, називають гіпотезами міцності.
Наведемо й інші, які використовуються в підручниках з опору матеріалів, назви: теорії граничних напружених станів, теорії міцності і т. Д.
Як випливає з викладеного, застосування гіпотез міцності позбавляє нас від необхідності проведення величезної кількості експериментів. Той чи інший критерій еквівалентності може бути основою для практичних розрахунків на міцність лише за умови, що для ряду окремих випадків він перевірений дослідним шляхом і результати експерименту виявилися досить близькими до результатів теоретичного розрахунку.
Визначення дійсної причини руйнування матеріалу є важким завданням. Ця обставина не дозволило до теперішнього часу створити єдину загальну гіпотезу міцності і спричинило за собою появу багатьох теорій, кожна з яких грунтується на своїй гіпотезі про причини руйнування матеріалу.
Незалежно від прийнятої гіпотези міцності умова міцності після визначення еквівалентного напруги представляється у вигляді одного з наступних нерівностей:
або, при заданому коефіцієнті запасу,
8.4. Як формулюється перша гіпотеза міцності? І які досвідчені дані підтверджують її справедливість?
Перша гіпотеза міцності ґрунтується на припущенні про те, що причиною руйнування матеріалу є найбільші за абсолютним значенням нормальні напруги.
Цю, найпростішу і стару, гіпотезу, запропоновану ще Галілеєм, називають гіпотезою найбільших нормальних напружень.
Умова міцності по першій гіпотезі міцності має вигляд:
У разі, коли найбільшим за абсолютним значенням буде стискуюче головне напруга. умова (8.1) записується у вигляді:
Істотний недолік першої гіпотези видно з наведених вище двох формул. Полягає він у тому, що при визначенні еквівалентного напруги абсолютно не враховуються два інших головних напруги, що надають, природно, великий вплив на міцність матеріалу.
Ця гіпотеза підтверджується експериментальними даними тільки для крихкого матеріалу і тільки при розтягуванні. коли головні напруження значно менше, ніж.
При всебічному стиску, наприклад, цементного кубика вона призводить до помилкових результатів, оскільки кубик витримує напруги, у багато разів перевищують межу міцності при одноосьовому стисканні.
В даний час ця гіпотеза міцності не застосовується і має лише історичне значення.
8.5. Що є причиною руйнування по другій гіпотезі міцності?
Зазначені недоліки першої гіпотези міцності привели до появи другої гіпотези міцності, запропонованої Маріоттом і потім розвиненою Сен-Венаном.
Відповідно до цієї гіпотези, званої гіпотезою найбільших лінійних деформацій, причиною руйнування є найбільші лінійні деформації. Умова міцності по цій гіпотезі записується у вигляді:
де - коефіцієнт Пуассона.
Відзначимо наступне. Друга гіпотеза міцності передбачає, що для пластичних матеріалів закон Гука виконується аж до границі текучості, а для крихких - до межі міцності, що, звичайно, є надто грубим допущенням.
Перевагою ж цієї гіпотези є те, що при обчисленні еквівалентного напруги вона враховує всі три головних напруги.
За допомогою цієї гіпотези можна пояснити руйнування крихких матеріалів при простому стисненні. Однак, як і перша гіпотеза, друга гіпотеза міцності недостатньо підтверджується дослідами і тому в даний час не застосовується.
8.6. Як формулюється третя гіпотеза міцності?
Відповідно до цієї гіпотези, яку називають також гіпотезою найбільших дотичних напружень. причиною руйнування матеріалу є найбільші дотичні напруження.
Лінії Людерса, руйнування по похилій площині зразка з крихкого матеріалу, освіту воронки при розриві - все це вказує на велику роль, яку відіграють дотичні напруження.
Відповідно до третьої гіпотези, максимальне дотичне напруження для заданого об'ємного НС і еквівалентного йому лінійного НС однакові, тобто
Нагадаємо, що в разі об'ємного НС найбільше дотичне напруження визначається за формулою
Еквівалентне напруження при одноосьовому розтягуванні одно:
З урахуванням формул (8.2) і (8.3), умова міцності по третій гіпотезі міцності приймає вид:
Недоліком цієї гіпотези є те, що вона не враховує другого головного напруги.
Досліди показують, що для пластичних матеріалів гіпотеза найбільших дотичних напружень дає задовільні результати. Помилка від зневаги впливом не перевищує зазвичай 10 - 15%.
Третя гіпотеза міцності вперше була висловлена Кулоном. Критерій найбільших дотичних напружень був запропонований їм в 1773 р Умова настання пластичного стану вперше висунув в 1868 р французький інженер Анрі Едуард Тріска (Treska, 1814 - 1885 рр.). Потім ця умова була математично сформульоване Сен-Венаном.
8.7. У чому полягає сенс енергетичної (четвертої) гіпотези міцності?
Енергетична гіпотеза міцності будується на припущенні про те, що кількість питомої потенційної енергії зміни форми. накопиченої до моменту настання граничного стану матеріалу, так само як при складному НС, так і при простому одноосьовому розтягуванні.
Необхідно звернути увагу Новомосковсктеля на те, що в цій гіпотезі мова йде не про всю питомої потенційної енергії деформації, а лише про ту її частини, яка накопичується за рахунок зміни форми кубика з ребром, рівним одиниці. У загальному випадку повна питома потенційна енергія деформації може бути представлена як сума енергій, пов'язаних зі зміною обсягу кубика і зміною його форми.
Умова міцності по четвертій гіпотезі міцності наведемо без виводу:
Очевидним достоїнством цієї теорії є те, що еквівалентне напруження визначається значеннями всіх трьох головних напружень.
Енергетична гіпотеза міцності добре узгоджується з дослідними даними для пластичних матеріалів. Для них вона призводить до дещо кращих результатів, ніж гіпотеза найбільших дотичних напружень.
Ідею енергетичного критерію міцності матеріалу вперше запропонував в 1856 р англійський учений Джеймс Клерк Максвелл (Maxwell, 1831 - 1 879 рр.). У 1885 р її розвинув італійський вчений Еудженіо Бельтрамі (Beltrami, 1835 - 1900 рр.). У 1904 р польський вчений Максиміліан Титус Губер (Huber, 1872 - 1950 рр.) І в 1911 р німецький вчений Ріхард Мізес (Mises, 1883 - 1953 рр.) Завершили розробку цієї теорії міцності.
8.8. Як формулюється гіпотеза міцності Мора?
Відповідно до цієї гіпотези, яку в 1900 році запропонував німецький вчений Отто Християн Мор (Mohr, 1835 - 1918 р.), Два напружених стану равноопасни, якщо для відповідних головних напружень і дотримується співвідношення:
Тоді умова міцності по гіпотезі міцності Мора має вигляд:
З формули (8.5) видно, що дана гіпотеза міцності не враховує впливу другого головного напруги.
В (8.4) і (8.5) коефіцієнт представляє собою відношення граничних напруг, відповідних одноосьовим розтягування і стиснення, тобто цей коефіцієнт дорівнює:
· Для тендітних матеріалів
Гіпотеза міцності Мора може бути рекомендована для тендітних матеріалів. Для пластичних матеріалів вона тотожна третьою гіпотезою міцності.
9.1. Який вигин називається косим?
Якщо ми прикладаємо до балці вертикальне навантаження, а вона при цьому прогинається чомусь не тільки у вертикальній площині, але і вбік, то такий вигин називається косим. Або, іншими словами, косим називається вигин, при якому вигнута вісь стрижня не лежить в силовій площині (площині, в якій розташовані всі зовнішні навантаження).