Дріб дорівнює нулю, алгебра
Коли дріб дорівнює нулю?
Дробная риса - це знак ділення. При розподілі нуля на будь-яке число, крім нуля, отримаємо нуль. На нуль ділити не можна.
Таким чином, дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.
Рішення багатьох задач в алгебрі зводиться до вирішення дрібно раціональних рівнянь, які, в свою чергу, зводяться до рівняння типу «дріб дорівнює нулю».
Схематично рішення рівняння типу «дріб дорівнює нулю» можна зобразити так:
Таким чином, щоб вирішити рівняння типу «дріб дорівнює нулю», треба:
1) Знайти значення змінної, при яких знаменник звертається в нуль.
2) Прирівняти до нуля чисельник і вирішити вийшло рівняння.
3) Перевірити, чи немає серед коренів рівняння «чисельник дорівнює нулю» значень, при яких знаменник звертається в нуль. Якщо є, їх слід виключити.
4) Записати відповідь.
Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник - відмінний від нуля, тому це рівняння рівносильне системі
Знаходимо значення змінної, при яких знаменник звертається в нуль:
Можна прирівняти вираз, що стоїть в лівій частині нерівності, до нуля, і вирішувати як звичайне неповне квадратне рівняння. Можна вирішувати як рівняння, тільки замість знака рівності кожного разу писати «≠».
При цих значеннях змінної вираз, що стоїть в лівій частині рівняння, не має сенсу (так як на нуль ділити не можна).
Вирішуємо рівняння, в якому чисельник дорівнює нулю.
Шукаємо дискриминант. Так як b = -10 - парне число, тут зручніше скористатися формулою для D / 4.
Так як D / 4> 0, рівняння має два кореня:
Перший з коренів - сторонній (він не задовольняє умові x ≠ 7), тому у відповідь записує тільки корінь 3. Відповідь: 3.
Це рівняння рівносильне системі
Його коріння - значення змінної, при якому вираз, що стоїть в лівій частині рівняння, не має сенсу.
Загальний множник 4x виносимо за дужки
Другий корінь не підходить (він не задовольняє умові x ≠ 0,5).
Переходимо до вирішення рівняння 3x-12 = 0. Це - лінійне рівняння. Невідоме - в одну сторону, відоме - в іншу з протилежним знаком:
Отриманий корінь є стороннім, так як не задовольняє умові x ≠ 4. Значить, вихідне рівняння типу «дріб дорівнює 0" коренів не має.
Відповідь: немає коренів.
Вирішуємо квадратне рівняння
Так як D / 4 = 0, квадратне рівняння має один корінь
Тепер вирішуємо рівняння
Сторонніх коренів немає (обидва кореня задовольняють умові x ≠ 1/4).