Дотична площину і нормаль до поверхні - студопедія
Геометричним чином (графіком) функції двох незалежних змінних в просторі R 3 є деяка поверхню Q. Виберемо на ній точку.
Визначення. Дотичній площиною до поверхні Q в даній точці називається площина, яка містить всі дотичні до кривих, проведеним на поверхні через цю точку.
Рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд
Якщо рівняння поверхні Q задано неявній функцією
Підставами значення приватних похідних в рівняння дотичної:
Отже, рівняння дотичної площини до поверхні в точці в разі неявного задання функції має вигляд
Визначення. Точка, в якій або хоча б одна з цих похідних не існує, називається особливою точкою поверхні. У такій точці поверхню може не мати дотичній.
Визначення. Нормаллю до поверхні Q в даній точці називається пряма, що проходить через цю точку перпендикулярно до дотичної площини, проведеної в даній точці поверхні.
Запишемо рівняння нормалі до поверхні в точці, користуючись умовою перпендикулярності прямої і площини:
Якщо поверхню Q задана неявно функцією то рівняння нормалі приймають вид
Приклад. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці.
Рішення. Рівняння поверхні задано явною функцією. Обчислимо приватні похідні функції в точці:
Тоді рівняння дотичної площини набуде вигляду
Знайдемо рівняння нормалі:
Приклад. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці.
Рішення. Рівняння поверхні задано неявно. Обчислимо приватні похідні функції в точці
Отже, рівняння дотичної площини має вигляд
Знаходимо рівняння нормалі