Дотична площину до поверхні онлайн
- Всі математичні операції виражаються через загальноприйняті символи (+, -, *, /, ^). Наприклад, x 2 + xy, записуємо як x ^ 2 + x * y.
- Корінь квадратний: sqrt. Наприклад, sqrt (x ^ 2 + 1/2 * y ^ 2), arcsin (x) = asin (x). e x = exp (x). число π = pi.
Дотичній площиною до поверхні # 963; в її точці М0 називається площина, в якій лежать дотичні до всіх кривим, проведеним на поверхні # 963; через точку М0.
Рівняння дотичної площини до поверхні, заданої рівнянням z = f (x, y). в точці M0 (x0, y0, z0) має вигляд:
Вектор називається вектором нормалі до поверхні # 963; в точці М0. Вектор нормалі перпендикулярний дотичній площині.
Нормаллю до поверхні # 963; в точці М0 називається пряма, що проходить через цю точку і має напрямок вектора N.
Канонічні рівняння нормалі до поверхні, заданої рівнянням z = f (x, y). в точці M0 (x0, y0, z0), де z0 = f (x0, y0), мають вигляд:
Приклад №1. Поверхня задана рівнянням x 3 + 5y. Знайти рівняння дотичної площини до поверхні в точці M0 (0; 1).
Рішення. Запишемо рівняння дотичній в загальному вигляді: z - z0 = f'x (x0, y0, z0) (x - x0) + f'y (x0, y0, z0) (y - y0)
За умовою завдання x0 = 0. y0 = 1. тоді z0 = 5
Знайдемо приватні похідні функції z = x ^ 3 + 5 * y.
f'x (x, y) = (x 3 + 5 • y) 'x = 3 • x 2
f'x (x, y) = (x 3 + 5 • y) 'y = 5
У точці М0 (0,1) значення приватних похідних:
f'x (0; 1) = 0
f'y (0; 1) = 5
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні в точці М0. z - 5 = 0 (x - 0) + 5 (y - 1) або -5 • y + z = 0
Приклад №2. Поверхня задана неявним чином y 2 -1 / 2 * x 3 -8z. Знайти рівняння дотичної площини до поверхні в точці M0 (1; 0; 1).
Рішення. Знаходимо приватні похідні функції. Оскільки функція задана в неявному вигляді, то похідні шукаємо за формулою:
Для нашої функції:
тоді:
У точці М0 (1,0,1) значення приватних похідних:
f'x (1; 0; 1) = -3 / 16
f'y (1; 0; 1) = 0
Користуючись формулою, отримуємо рівняння дотичної площини до поверхні в точці М0. z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) або 3/16 • x + z- 19/16 = 0