Дійсні (речові) числа
4.1. Подання дійсних чисел у вигляді нескінченних десяткових дробів
Будь-яке дійсне число a можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу:
a = a 0; a 1 a 2. a n. ;
де з двох знаків береться якийсь один: плюс - для позитивних чисел, мінус - для негативних чисел (знак плюс зазвичай не пишеться).
Раціональні числа представимо у вигляді періодичних, а ірраціональні числа - у вигляді неперіодичних нескінченних десяткових дробів. Деякі раціональні числа представимо у вигляді кінцевої дробу або, що те ж саме, у вигляді нескінченної дробу з нулем в періоді. Такі числа допускають друге подання - у вигляді нескінченного десяткового дробу з цифрою 9 в періоді. наприклад:
1 = 2 = 0; 500. 0. = 0; 5 (0); 1 = 2 = 0; 49999. = 0; 4 (9):
При порівнянні дійсних чисел будемо користуватися для таких раціональних чисел лише першою формою записи (з нулем в періоді).
Правило порівняння дійсних чисел
Нехай a = a 0; a 1;. ; a n;. b = b 0; b 1;. ; b n;. - довільні дійсні числа, представлені у вигляді нескінченних десяткових дробів. Числа а і b називаються рівними (a = b), якщо вони мають однакові знаки і справедливі рівності: a k = b k. k = 0; 1; 2 ;. В іншому випадку вважається, що a 6 = b.
При порівнянні нерівних чисел a і b розглянемо три випадки:
1) a і b - невід'ємні числа. Так як a 6 = b, то існує натуральне n або n = 0 таке, що a k = b k. k = 0; 1 ;. ; n 1 і a n 6 = b n. Будемо вважати, що a> b, якщо a n> b n. і що a 2) a - невід'ємне, b - негативне число. Будемо вважати, що a> b; 3) a і b - негативні числа. Будемо вважати, що a> b, якщо jaj За визначенням jaj = a, якщо a - невід'ємне число, і дорівнює a, якщо a - негативне число. Нехай на непорожня множина X визначені операції додавання (позначається символом +), множення (позначається як) і порівняння (позначається символом 6): Це означає, що для будь-яких двох елементів x; y 2 X їх сума x + y і твір x y знову є елементами безлічі X, а також відомо, яким ставленням вони пов'язані: x 6 y або y 6 x. Щодо введених операцій ми будемо припускати виконання наступних аксіом. I. Аксіоми додавання 1. Існування нейтрального елемента: 9 0 2 X 8 x 2 X x + 0 = x. 2. Існування зворотного елемента: 8 x 2 X 9 x 0 2 X x + x 0 = 0. 3. Асоціативність додавання: 8 x; y; z 2 X (x + y) + z = x + (y + z). 4. Комутативність складання: 8 x; y 2 X x + y = y + x. Безліч X, що задовольняє умовам I 1 -I 3. називається групою щодо операції додавання (адитивної групою). Безліч X, що задовольняє умовам I 1 -I 4. називається комутативність (абельовой) групою щодо операції додавання. II. аксіоми множення 1. Існування нейтрального елемента: 9 1 2 X 8 x 2 X x 1 = x. 2. Існування зворотного елемента: 8 x 2 X n f0g 9 x 0 2 X x x 0 = 1. 3. Асоціативність множення: 8 x; y; z 2 X (x y) z = x (y z). 4. Комутативність множення: 8 x; y 2 X x y = y x. Безліч X, що задовольняє умовам II 1 -II 3. називається групою щодо операції множення (мультипликативной групою). Безліч X, що задовольняє умовам II 1 -II 4. називається комутативність (абельовой) групою щодо операції множення. III. Зв'язок між складанням і множенням 8 x; y; z 2 X (x + y) z = x z + y z. Аксіома III носить назву дистрибутивность або Безліч X, що задовольняє аксіомам I-III, називається полем. IV. аксіоми порядку x 6 y і y 6 z) x 6 z. Безліч X, що задовольняє умовам IV 2 -IV 4. називається частково упорядкованим безліччю. Безліч X, що задовольняє умовам IV 1 -IV 4. називається цілком упорядкованим безліччю. V. Зв'язок між складанням і відношенням порядку Якщо x 6 y, то 8 z 2 X) x + z 6 y + z. VI. Зв'язок між множенням і відношенням порядку Якщо x 6 y, то 8 z> 0) x z 6 y z. VII. аксіома безперервності Нехай A X, B X, A 6 =;, B 6 =; і для будь-яких елементів a 2 A і b 2 B виконується a 6 b. Тоді знайдеться такий елемент c 2 X, що a 6 c 6 b при будь-яких a 2 A і b 2 B. Безліч X, що задовольняє аксіомам I-VII і містить більше одного елемента, називається безліччю дійсних (речових) чисел. Його прийнято позначати R. Описане вище безліч десяткових дробів і операцій з ними є однією з можливих моделей безлічі дійсних чисел. Іншим прикладом моделі дійсних чисел є числова пряма. 4.3. Наслідки з аксіом дійсних чисел Читачеві корисно буде самостійно довести деякі, часто зустрічаються слідства з наведеної вище аксіоматики. 1. Единственность нуля. 2. Единственность елемента, зворотного щодо операції додавання. 3. Рівняння a + x = b має єдине рішення x = b a. 4. Единственность одиниці. 5. (Единственность елемента, зворотного щодо операції множення.) Для будь-якого x 2 R, x 6 = 0, існує тільки один елемент, зворотний щодо операції множення. Елемент, зворотний x щодо множення, будемо позначати x 1. Запис x y позначає множення y на елемент, зворотний до x, т. Е. Y x 1. 6. Для будь-якого a 6 = 0 рівняння a x = b має єдине рішення x = a b. 7. Для будь-якого x 2 R виконується 0 x = 0. 8. Для будь-якого x 2 R де (x) - зворотний до x, а (1) - зворотний до 1. 9. (Властивість щільності безлічі дійсних чисел.) Для будь-яких x; y 2 R (для визначеності x 6 y) знайдеться такий елемент z 2 R, що x 6 z 6 y. 10. Нерівності x 6 y, x y 6 0, y 6 x, 0 6 y x рівносильні. Деякі числові безлічі Речові числа можна зображати точками на координатній прямій. Тому безліч всіх дійсних чисел називають числової прямої, а самі числа - точками, і при розгляді числових множин часто користуються їх геометричній інтерпретацією. Нагадаємо, що координатної прямої називається пряма, на якій обрані точка, яка є початком відліку, масштабний відрізок і позитивний напрямок. Будемо використовувати такі позначення та термінологію: N - безліч всіх натуральних чисел; Z - множина всіх цілих чисел; Q - безліч всіх раціональних чисел; R = (1; 1) - безліч всіх дійсних чисел (числова пряма); [A; b] - сегмент (відрізок), т. е. безліч всіх дійсних чисел x, що задовольняють нерівності (A; b) - інтервал, т. Е. Безліч всіх дійсних чисел x, що задовольняють нерівностям a [A; b), (a; b] - напівінтервал (полусегмент), т. е. безліч всіх дійсних чисел x, що задовольняють відповідно неравенствам a 6 x (1; a), (a; +1) - нескінченні інтервали; Сегмент, інтервал, напівінтервал, промінь, полупрямую і числову пряму будемо називати також проміжком. Елементи топології на числовій прямій "-окрестностью точки x, де"> 0, називається інтервал (x "; x +"). Позначається O "(x). Безліч X R називається відкритим, якщо будь-яка точка цієї множини входить в нього разом з деякою своєї "-окрестностью: 8 x 2 X 9 "> 0 O" (x) X: Околицею точки x називається будь-який відкритий безліч, що містить точку x. Позначається O (x). Проколеної околицею ( "-окрестностью) точки x називається безліч околиця (" -окрестность) з віддаленої з неї точкою x:4.2. Аксіоматичне визначення безлічі дійсних чисел
Схожі статті