Число, змінна, функція
Безліч допомагає зрозуміти, що таке «число».
Не всі поняття в математиці вводяться за допомогою визначень. Деякі з них вважаються основними, первинними і тому відносяться до невизначені. Сенс таких понять можна тільки пояснити за допомогою прикладів і описом властивостей. Загальновідомим з них є «точка». До таких же поняттям відноситься «безліч».
Початкове уявлення про безліч можна отримати, якщо розглянути сукупність довільних об'єктів. Об'єкти в складі сукупності можуть бути або абстрактними (слова, числа, екзаменаційні оцінки), або реальними (будинку в місті, домашні речі, товари в магазині, учні в групі).
Перша відмінність безлічі від сукупності. Об'єкти безлічі обов'язково повинні відрізнятися між собою. У той же час від об'єктів сукупності цього не потрібно. Можна стверджувати, що будь-яка множина являє собою сукупність, але не всяка сукупність може вважатися безліччю. Наприклад, сукупність оцінок, отриманих групою студентів під час іспиту, складається з багатьох «п'ятірок», «четвірок», «трійок» і «двійок». Але до безлічі оцінок належать тільки чотири названих.
Друга відмінність безлічі від сукупності. Об'єкти безлічі відрізняються не тільки між собою, але і від об'єктів, які до складу безлічі не входять. Наприклад, всі екзаменаційні оцінки, незалежно від того, якими групами студентів вони отримані, належать одному і тому ж безлічі. У той же час, оцінки, отримані в різних групах, відносяться до різних совокупностям.
Вирішуємо контрольні з усіх предметів. 10 років досвід! Ціна від 100 руб. термін від 1 дня!
Напишемо недорого і точно в строк! Більш 50 000 перевірених фахівців
Акція! Даруємо 100 руб.
на перше замовлення!
від 200 руб / від 2х годин
від 350 руб / від 2х годин
від 50 руб / від 2х годин
Об'єкти безлічі прийнято називати його елементами. Самі безлічі позначають великими буквами, а елементи множин - малими. Якщо деякий об'єкт $ x $ є елементом множини $ M $, то це записують у вигляді $ x \ in M $ ($ x $ належить $ M $). Протилежна ситуація позначається як $ x \ notin M $ ($ x $ не належить $ M $). Наприклад, якщо $ M $ - безліч оцінок, то $ 3 \ in M $, а $ 13 \ notin M $.
Безлічі можуть бути кінцевими (наприклад, безліч екзаменаційних оцінок) і нескінченними (наприклад, безліч трикутників, вписаних в дану окружність). Зокрема, може існувати порожня множина, що не містить елементів. Порожня множина позначають $ \ emptyset $.
Найпростіший спосіб задати безліч - перерахувати всі його елементи. Наприклад, безліч екзаменаційних оцінок можна задати за допомогою переліку $ M = \ left \ $. Відзначимо, що порядок перерахування елементів безлічі значення не має.
Існують наступні варіанти порівняння множин:
- Безлічі $ A $ і $ B $ вважаються співпадаючими, якщо будь-який елемент безлічі $ A $ належить множині $ B $, і навпаки, будь-який елемент безлічі $ B $ належить множині $ A $. Якщо безлічі $ A $ і $ B $ збігаються, то пишуть $ A = B $. В іншому випадку пишуть $ A \ ne B $.
- Якщо будь-який елемент безлічі $ A $ належить множині $ B $, то безліч $ A $ називають підмножиною множини $ B $ і записують у вигляді $ A \ subset B $. Зокрема, якщо $ A = B $, то $ A \ subset B $ і $ B \ subset A $.
- Якщо хоча б один елемент безлічі $ A $ не належить множині $ B $, то це записують у вигляді $ A \ not \ subset B $ (безліч $ A $ не є підмножиною множини $ B $).
- Порожня множина є підмножиною будь-якої множини $ M $, тобто $ \ emptyset \ subset M $. Крім того, будь-яка множина $ M $ є підмножиною самого себе, тобто $ M \ subset M $.
Вирішуємо контрольні з усіх предметів. 10 років досвід! Ціна від 100 руб. термін від 1 дня!
$ \ Pi = 3,141592. $; $ \ Sqrt = 1,414213. $.
Всі раціональні та ірраціональні числа утворює безліч дійсних чисел $ R $.
Для зручності вважають, що до безлічі дійсних чисел $ R $ належать також елементи, які позначають $ - \ infty $ (мінус нескінченність) і $ + \ infty $ (плюс нескінченність). За визначенням, для будь-якого іншого елемента $ x \ in R $ виконуються нерівності $ - \ infty
Перше уявлення про комплексний числі можна отримати, вирішуючи рівняння $ x ^ + 1 = 0 $. Далі отримуємо $ x ^ = -1 $, звідки $ x = \ sqrt $. Математик Леонард Ейлер першим використовував позначення $ \ sqrt = i $, а також $ i ^ = -1 $. Він же назвав число $ i $ уявною одиницею.
Комплексним числом називається число, що має вигляд $ z = a + i \ cdot b $, в якому $ a $ і $ b $ - дійсні числа, а $ i $ - уявна одиниця.
Особливістю числових множин є те, що кожного наступного числовому безлічі належать також і елементи попереднього, тобто $ N \ subset Z \ subset Q \ subset R \ subset C $.
Так як будь-яке ціле число $ y \ in Z $ можна представити у вигляді дробу $ \ frac $, то $ y \ in Q $.
Мінлива
Загальновідомо, що при вивченні явищ природи і при вирішенні технічних завдань постійно виникає необхідність розглядати зміни числових значень тих чи інших величин. Більш того, в математиці можуть вивчатися зміни числових значень якихось абстрактних величин, що не відносяться безпосередньо до реального світу.
У зв'язку з цим виникла необхідність у використанні поняття «змінна величина».
Змінна величина - це така величина, яка в умови розв'язуваної задачі може приймати різні числові значення.
У загальному випадку під змінної розуміють кожен елемент деякого числового безлічі. При цьому деякий фіксований елемент цієї множини називають значенням змінної. Саме ж безліч в цьому випадку називають областю значень змінної.
Найчастіше змінні позначають буквами латинського або грецького алфавіту.
У наукових дослідженнях, при вирішенні практичних завдань завжди розглядають зміни одних величин в залежності від змін інших. Наприклад, в електричному ланцюзі величина струму змінюється в залежності від величини опору, об'єм кулі змінюється в залежності від його радіуса і т.д.
При цьому в різних фізичних явищах ті чи інші величини можуть вести себе по-різному. Наприклад, пр рівномірному русі пройдену відстань змінюється в залежності від часу, а швидкість залишається постійною. А ось при рівноприскореному русі в залежності від часу змінюється не тільки відстань, але і швидкість.
Взаємозв'язок змінюваних величин в математиці описують за допомогою функцій.
Формальне визначення виглядає наступним чином. Нехай існує деякий закон $ f $, за яким кожному числовому значенню змінної $ x $ ставиться у відповідність єдине певне числове значення іншої змінної $ y $. Такий закон називається функцією від $ x $ і символічно записується у вигляді $ y = f \ left (x \ right) $.
При цьому змінну $ x $ називають незалежною змінною або аргументом, змінну $ y $ - залежною змінною чи функцією.
Таким чином, буква $ f $ в запису $ y = f \ left (x \ right) $ позначає правило або сукупність дій, які потрібно зробити над значенням аргументу $ x $, щоб отримати значення функції $ y $. Замість букви $ f $ можна використовувати і будь-які інші, наприклад, $ y = F \ left (x \ right) $, $ y = \ $ \ left (x \ right) $ і т.д. Досить часто пишуть і так: $ y = y \ left (x \ right) $.
Припустимо, що існує сукупність значень аргументу $ x $, для якої, використовуючи правило $ f $, можна визначити відповідну сукупність значень функції $ y $. Таку сукупність значень аргументу $ x $ називають областю визначення функції $ y = f \ left (x \ right) $, а сукупність значень $ y $ називають областю значень функції $ y = f \ left (x \ right) $.
Таким чином, щоб задати функцію, необхідно задати для неї правило обчислення $ f $, а також вказати область її визначення.
Областю визначення логарифмічної функції $ y = \ log _ x $ є проміжок $ 0
Згідно з визначенням функції, кожному числовому значенню змінної $ x $ повинно ставитися у відповідність єдине числове значення іншої змінної $ y $. Щоб підкреслити цю особливість, таку функцію називають однозначною. Але існують також функції, в яких одному значенню аргументу відповідають два і більше значень функції. Такі функції називаються багатозначними.
Функція $ y = \ pm \ sqrt -x ^> $ є двозначною, яка описує верхню і нижню дуги окружності.
Дізнайся вартість написання роботи на замовлення
Інші статті по темі
Виконання будь-яких типів робіт з математики
Працюємо по буднях з 10:00 до 20:00