Зв'язок між тривалістю імпульсу і шириною його спектра
Спектр одиночного імпульсу має наступний вигляд:
Мал. 10.16. Спектр одиночного імпульсу
З спектра одиночного імпульсу ясно, що чим менше, тим ширше спектр. При ® 0 - спектр рівномірний; а при = - маємо на спектрі одну постійну складову.
Цей зв'язок випливає безпосередньо із загального властивості перетворення Фур'є.
Нехай ƒ (t) відповідає спектр F (ω).
Змінимо масштаб функції ƒ (t) по осі часу в a раз і розглянемо спектр функції a ƒ (at):
замінимо змінні at = z; adt = dz; t = z / a. тобто тривалість функції ƒ (t) зменшиться в a разів, у стільки ж разів зросте ширина її спектра.
Питання про співвідношення між тривалістю імпульсу і шириною його спектра має величезне практичне значення. В обчислювальній техніці необхідні короткі і потужні імпульси і в той же час потрібно, щоб спектр імпульсу був якомога вже, так як широкі спектри викликають труднощі при створенні апаратури.
Ці вимоги суперечливі.
Виникає питання: чи не можна знайти такі сигнали, які володіли б обмеженим спектром і одночасно обмеженою тривалістю? Формалізм перетворення Фур'є цього не дозволяє, однак для реальних сигналів можуть бути введені розумні обмеження, які дозволяють обмежити або δt. або δƒ, або і те й інше.
Найбільш зручним в цьому сенсі, як ми вже говорили раніше, є енергетичний критерій. При цьому можна уявити собі такі моделі сигналів:
1. Сигнали обмежені в часі. Спектр - необмежений теоретично; фізично він завжди обмежений і враховується тільки та частина спектра, де зосереджена переважна частина енергії сигналу.
2. Сигнали мають обмежений спектр. тобто математично це періодичні, необмежені в часі сигнали. Фактично, реальний процес завжди обмежений у часі, тому враховується тільки інтервал часу, в якому зосереджена переважна частина всієї енергії сигналу.
де t0 - часто задається природно: для симетричного імпульсу t0 = 0; для одиночного так само t0 = 0 і формула має вигляд:
3. Сигнали, у яких і тривалість (δt) і ширина спектра (δƒ) обмежені як інтервали, в яких зосереджена переважна частина енергії сигналу. Математичний апарат перетворення Фур'є дає в цьому випадку наближені разультате.
При обмеженнях по δt і δƒ можна поставити наступне завдання - відшукати таку форму сигналу, для якої твір δt · δƒ досягає min.
Такому умові відповідає імпульс, який має колоколообразную форму, яка описується кривою Гаусса (кривої нормального розподілу).
Мал. 10.17. крива Гауса
Твір δt · δƒ може бути зменшено тільки до певної межі:
δt · δƒ ≈ const> 0,
де const залежить від вибору визначення δƒ і δt.
Наведемо значення δt · δƒ для різних видів сигналів в припущенні, що
Найбільш плідною і близькою до реальної дійсності є модель з обмеженим спектром.
Цьому сприяє той факт, що спектр потужності реального сигналу досить швидко спадає поза інтервалу частот, на який припадає основна частина потужності.
В інженерній практиці приймають (в першому наближенні незалежно від форми сигналу):
δt · δƒ ≈ 1.
Практично, незалежно від форми сигналу міститься> 90% енергії.
1. Якщо Tімп = 3млсек, то яка потрібна смуга частот, щоб пропустити основну частку енергії?
2. Яка тривалість телевізійних імпульсів, якщо FTV max = 6мггц?
4. При передачі трансцоідального імпульсу відбувається його викривлення. Найчастіше це згладжування (показано пунктиром). На рис. 10.18. показані тривалість імпульсу і тривалості фронтів (переднього і заднього). З наведених співвідношень видно, що для збереження фронтів потрібно значно ширший спектр, ніж для передачі основної енергії імпульсу.
Якщо зберегти фронт, то: