Збірник завдань з алгебри

ФУНКЦІЇ І МЕЖІ IX

§ 203. Область визначення і область зміни функції

Яким би способом не була задана функція y = f (x), розглядаючи її, ми завжди маємо справу з двома множинами: безліччю значень, які може приймати аргумент х. і безліччю значень, які може приймати функція у. Наприклад, для функції у = 2х (рис. 267) безліччю всіх значень, які може приймати аргумент х. є сукупність всіх дійсних чисел, а безліччю всіх значень, які може приймати функція у, сукупність всіх позитивних чисел.

Сукупність усіх тих значень, які приймає аргумент х функції y = f (x), називається областю визначення цієї функції. Сукупність усіх тих значень, які приймає сама функція у. називається областю зміни цієї функції.

Наприклад, областю визначення функції у = sin x (рис. 268) є сукупність всіх дійсних чисел, а областю зміни - сукупність всіх чисел, укладених між - 1 і 1, включаючи ці два числа.

Для функції у = lg x (рис. 269) областю визначення є сукупність всіх позитивних чисел, а областю зміни - сукупність всіх дійсних чисел і т. Д.

Раніше ми вивчали числові послідовності. Члени будь-якої числової послідовності можна розглядати як можливі значення деякої функції, визначеної для натуральних значень аргументу. Наприклад, члени послідовності

є значеннями функції у = 1 / n. а члени послідовності

- значеннями функції у = (- 1) n +1. Кожну з цих функцій ми розглядаємо як функцію, певну тільки для натуральних значень аргументу п. Ось чому іноді кажуть, що числова послідовність є функція натурального аргументу.

Розглянемо кілька складніших прикладів на знаходження області визначення функції.

Приклад 1. Знайти область визначення функції

Ця функція визначена для всіх значень х. крім тих, при яких знаменник дробу x 2 + 2x - 3 звертається в нуль. Вирішуючи рівняння x 2 + 2x - 3 = 0, знаходимо: x1 = 1, x2 = -3. Порожньому облжтио визначенні даної функції є сукупність всіх дійсних чисел, крім 1 і -3.

Приклад 2. Знайти область визначення функції

Коріння квадратні визначені тільки для невід'ємних чисел. Тому область визначення даної функції можна розглядати як сукупність всіх значень х. задовольняють нерівності

Перш за все з'ясуємо, за яких значеннях аргументу х чисельник і знаменник цього дробу є позитивними і за яких негативні. Вирішуючи нерівність 2х - 4> 0, отримуємо х> 2. Таким чином, при х> 2 чисельник позитивний; при х <2 он, очевидно, отрицателен. Это отмечено на рисунке 270. Заштрихованная часть верхней числовой прямой соответствует той области, в которой он положителен, а незаштрихованная — той области, в которой он отрицателен.

Аналогічно досліджується знаменник 3 - 6х. маємо:

Заштрихована частина другої числової прямої на малюнку 270 відповідає області, в якій знаменник 3 - 6х позитивний, а незаштриховані - області, в якій він від'ємний. З малюнка 270 видно, що обидва вирази (чисельник і знаменник) мають однакові знаки тільки при 1/2 <х <2. Поэтому в этой области дробь положительна. При х = 2 она обращается в 0. Следовательно, областью определения данной функции является совокупность действительных чисел, удовлетворяющих неравенству

Приклад 3. Знайти область визначення функції

Десяткові логарифми визначені тільки для позитивних чисел. Тому область визначення даної функції можна розглядати як сукупність всіх значенні х. задовольняють нерівності

Виконавши віднімання в лівій частині цієї нерівності, отримаємо:

Чисельник цього дробу позитивний при х> 1 і негативний при х <1, а знаменатель положителен при х> - 1 і негативний при х <— 1 (рис. 271).

Тому дріб позитивна при х <— 1 и при х> 1. Всі ці значення х можна записати у вигляді однієї нерівності | х |> 1.

Приклад 4. Знайти область визначення функції

По-перше, tg х не визначений для х = π / 2 + n π. По-друге, дана дріб не визначена для тих значень х. при яких знаменник звертається в нуль. Ці значення знаходяться з рівняння sin х - cos х = 0. Це однорідне тригонометричне рівняння. Ділячи обидві його частини на cos x (доведіть, що цей поділ можливо!), Отримаємо:

Отже, областю визначення даної функції є сукупність всіх дійсних чисел, крім π / 2 + n π і π / 4 + k π. де п і k - довільні цілі числа.

Тепер ми розглянемо кілька прикладів на знаходження області зміни функції.

Приклад 5. Як відомо, лінійна функція у = ах + b при а = / = 0 приймає будь-які дійсні значення. Тому областю зміни цієї функції є сукупність всіх дійсних чисел.

Приклад 6. Знайти область зміни функції

Перетворимо квадратний тричлен x 2 - 4х + 7, виділивши з нього повний квадрат:

Вираз (х - 2) 2 приймає, очевидно, все невід'ємні значення. Тому областю зміни даної функції є сукупність всіх чисел, великих або рівних 3. Цю область можна задати за допомогою нерівності у> 3.

Приклад 7. Знайти область зміни функції

Представивши цю функцію у вигляді

(Згадайте, як це робиться!), Неважко зрозуміти, що область її зміни визначається нерівністю