Властивості кільця - студопедія
Опорний конспект лекцій
для студентів 1-го курсу денної
і 2-го курсу заочної
форм навчання
спеціальностей «інформатика»,
"прикладна математика"
Укладач: кандидат фіз.-мат. наук, доцент Кудряшов Ю. Л.
Визначення 1.1: Непорожнє безліч чисел називається кільцем, якщо це безліч містить твір, суму і різницю будь-яких двох чисел з цієї множини.
Визначення 1.2: Числовим полем називається числове кільце, яке містить приватна будь-яких двох чисел з цієї множини, (крім поділу на 0).
Теорема 1.1: Поле раціональних чисел міститься в усякому числовому полі, (тобто поле раціональних чисел - це мінімальне числове поле).
Нехай - безліч елементів довільної природи. Позначимо - декартовій твір, тобто безліч впорядкованих пар,.
Визначення 1.3: Нехай кожній парі поставлений у відповідність один, цілком певний, елемент з (тобто задано відображення:). Тоді кажуть, що на безлічі задана бінарна алгебраїчна операція.
Будемо операцію позначати значком, де, тобто.
Визначення 1.4: Безліч називається замкнутим щодо операції, якщо виконується: і.
Визначення 1.5: Безліч називається кільцем, якщо в ньому визначені дві бінарні алгебраїчні операції і, що задовольняють наступним умовам:
1. Операції і комутативні, тобто,.
2. Операції і асоціативні, тобто,,.
3. Операції та пов'язані законом дистрибутивности:.
4. Операція має зворотну операцію, (яку ми позначимо). Це означає наступне: такий, що, (.
Всі числові кільця є кільцями. Операції, і будемо надалі називати відповідно складанням, множенням і відніманням.
1. У кільці визначено додавання і множення будь-якого кінцевого числа елементів кільця.
3. Закон дистрибутивности для різниці, тобто.
4. У кожному кільці існує єдиний нульовий елемент, який позначимо 0 такої, що,.
5.существует єдиний протилежний елемент такої, що. Позначається.
10. Правила знаків: і.
Визначення 1.6: Елементи, з кільця називаються дільниками нуля, якщо,, але.