Визначення Евкліда, математика, яка мені подобається
Першу Книгу "Почав" відкривають численні визначення, за якими слідують п'ять знаменитих постулатів. Далі, перед тим як Евклід починає доводити теореми, він наводить список загальних понять. Перші кілька визначень наступні:
Визначення 1.1. Точка - це те, частина чого є ніщо.
Визначення 1.2. Лінія - це довжина без ширини.
Визначення 1.3. Кінці ліній - це точки.
Визначення 1.4. Пряма лінія лежить рівномірно по відношенню до точок на ній.
Постулати - це конструкції такого вигляду:
Можна намалювати пряму лінію, що сполучає одну точку з будь-якою іншою.
Загальні поняття - це аксіоми, такі як:
Об'єкти, рівні одному і тому ж об'єкту, рівні між собою.
Слід зазначити певні моменти.
1. Евклід, здається, визначає точки два рази (визначення 1 і 3) і лінією два рази (визначення 2 і 4). Це досить дивно.
2. Евклід ніколи не використовує визначення і ніколи не посилається на них в іншій частині тексту.
3. Деякі поняття він ніде не визначає. Наприклад, відсутнє визначення порядку точок на прямій. Тому те, що одна точка розташована між двома іншими, також не визначено, але, звичайно ж, це використовується.
4. У п'ятій Книзі "Почав" розглядаються величини і їх пропорційність. Однак Евклід поняття величини не визначає, і сучасному Новомосковсктелю здається, що Евклиду не вдалося ввести величини з тієї строгістю, якої він знаменитий.
5. Коли Евклід вводить величини і числа, він дає кілька визначень, але не постулатів або загальних понять. Наприклад, можна було б очікувати від Евкліда постулирования, що, і т.д. але він цього не робить.
Коли Евклід вводить числа в сьомий Книзі, він дає визначення, дуже схоже на основні визначення на початку першої Книги:
Одиниця - це те, завдяки чому кожна з речей, які існують, називається однією.
Деякі історики математики припустили, що немає різниці між способами введення основних визначень на початку Книги I і в Книзі V не тому, що Евклід писав п'яту Книгу з меншою строгістю. Вірніше, вони припускають, що Евклід завжди залишав основні поняття невизначеними, і визначення на початку першої Книги є більш пізніми додаваннями. Які докази цього?
Ми повинні врахувати те, що Секст Емпірика говорить про визначеннях. Насамперед зазначимо, що Секст писав близько 200 г. н.е. і до порівняно недавнього часу вважалося, що Герон жив пізніше цього часу. Якби це було так, то, звичайно, Секст не міг би послатися на те, що написав Герон. Однак останнім часом роки життя Герона віднесли до першого століття нашої ери, і це говорить про те, що Секст писав пізніше нього. Інша частина головоломки, яку ми повинні розглянути - це більш ранні версії "Почав" Евкліда, які можна знайти. Коли сталося виверження Везувію в 79 р н.е. Геркуланум разом з Помпеей і Стабія був знищений. Геркуланум був похований під твердою вулканічної масою приблизно на глибині 16 м і перебував там до розкопок міста, які почалися в XVIII столітті. Особливі умови вологості під землею сприяли збереженню дерева, тканин, продуктів харчування, і, зокрема, папірусів, які дозволили нам дізнатися важливі відомості. Один зі знайдених папірусів містить фрагменти "Начал". Очевидно, що він був написаний до 79 м н.е. Так як Філодем (Philodemus), учень Зенона сидонською, пренесени туди свою бібліотеку папірусів незабаром після 75 р до н.е. версії "Почав", ймовірно, датуються приблизно цим часом.
Давайте повернемося до Сексту, який пише про "математиків, що описують геометричні об'єкти". Цікаво, що слово "опис" не використовується в "Засадах", але вживається в "Визначенні понять геометрії" Герона. Знову опису, які він дає, ближче до точних словами Герона, ніж до тих, які можна знайти у Евкліда. Коли Секст дає визначення кола, він використовує слово "визначення", яке є словом Евкліда. Секст цитує точне визначення кола, яке з'являється у фрагменті з Геркуланума. Це не відноситься до визначення кола, хоча Евклід дійсно використовує поняття окружності. Пізніші версії "Почав", які дійшли до нас, включають визначення кола в визначення кола.
Ніщо з написаного вище доводить, що основні визначення геометричних об'єктів були додані в "Почала" пізніше. Досить переконливо показано тільки, що визначення кола було розширено за рахунок того, що в більш пізніх виданнях книги в нього було включено визначення кола. Гіпотеза полягає в тому, що перед Секстом, коли він пише, є "Початки" і "Визначення понять геометрії", і він використовує слово "описати", коли він посилається на Герона, і "визначити", коли посилається на Евкліда. Навіть якщо це правда, то це все одно не доводить, що версія "Почав", яка лежить перед Секстом, не містить основних визначень геометричних об'єктів, але вона, принаймні, говорить про те, що це варто обговорювати. Що ви думаєте з цього приводу?
І останнє, над чим варто подумати. Ми навели вище:
Визначення 1.4. Пряма лінія лежить рівномірно по відношенню до точок на ній.
Що це означає? Це опис здається дивним для Евкліда, тому що воно виглядає безглуздим. Порівняйте це з визначенням прямої в "Визначеннях понять геометрії":
Пряма лінія - це лінія, яка однакова по відношенню до всіх точок на ній, лежить прямо і максимально натягнута між своїми кінцями.
Знову питання до Новомосковсктелям: ви думаєте, що визначення, що входить в "Почала", є спотворенням визначення Герон і було додано пізніше, або ви думаєте, що Евклід дав досить неточне визначення, яке було покращено Героном? Чому б не використати визначення прямої лінії як найкоротшої відстані між двома точками?