Вектори і лінійні операції над векторами
Визначення 1. Вектором (геометричним вектором) називається спрямований відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і напрямок.
Вектори розглядаються на площині (двовимірні) і в просторі (тривимірні). І в тому, і в іншому випадку вектор визначається упорядкованим парою точок, перша з яких - початок вектора, інша - кінець вектора. Для позначення векторів використовуються символи. . . . Якщо і відповідно точки початку і кінця вектора, то цей вектор позначається (Рис. 1). Вектор з початком в точці і кінцем в точці називає протилежним вектору.
Довжиною або модулем вектора називається число, яке дорівнює довжині відрізка. зображує вектор. Вектори і мають один і той же модуль.
Нульовим вектором називається вектор, початок і кінець якого збігаються. Нуль-вектор позначається символом. Модуль нульового вектора дорівнює нулю.
Одиничним вектором називає вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямком вектора. називається ортом вектора і позначається.
Два ненульових вектора називаються рівними. якщо один з них шляхом паралельного перенесення можна поєднати з іншим так, що співпадуть їх початку і кінці (рис 2).
З точки зору векторної алгебри вектор не змінюється при його паралельному перенесенні зі збереженням його довжини і його напрямки, тобто точку прикладання вектора можна поміщати в будь-яку точку простору. Такі вектори називаються вільними.
Лінійними операціями над векторами називаються операції додавання, віднімання і множення вектора на число.
Додавання двох векторів і можна виконати за допомогою правила паралелограма. Якщо відкласти вектори і від загальної точки і побудувати на них як на сторонах паралелограма, то вектор. що йде із загального початку в протилежну вершину паралелограма, буде їх сумою (рис. 3).
Для побудови сумарного вектора не обов'язково будувати весь паралелограм. досить побудувати трикутник. Сформульоване правило визначення суми можна замінити більш зручним.
Сумою двох векторів і називається вектор, що з'єднує початок першого доданка вектора з кінцем другого за умови, що початок другого доданка поєднане з кінцем першого (рис. 4).
При цьому ясно, що результат складання не залежить від того, в якій точці простору початок першого доданка: при її зміні весь трикутник паралельно переноситься. Це правило додавання векторів називається правилом трикутника.
Додавання багатьох векторів. . . . відбувається послідовно: спочатку складається перший вектор з другим. потім до їх суми додається третій вектор. потім до отриманої суми додається вектор і т.д. (Рис. 5).
Безпосередньо видно, що виходить наступне правило для додавання векторів.
Правило багатокутника. Сумою декількох векторів є вектор, який з'єднує початок першого доданка вектора з кінцем останнього за умови, що початок кожного наступного вектора поєднане з кінцем попереднього (рис. 6).
Закони додавання векторів:
Різницею двох векторів і називається вектор. який при додаванні з вектором дає вектор (рис. 7).
Зауважимо, що якщо на векторах і. відкладених від загального початку, можна побудувати паралелограм, то одна спрямована діагональ є сумою векторів, а інша різницею.
Твором ненульового вектора на число називається вектор (або), довжина якого дорівнює. а напрямок збігається з напрямком вектора. при і протилежно йому при.
Наприклад, якщо дано вектор. то вектори і мають вигляд і.
Закони множення вектора на число:
З визначення добутку вектора на число слід, що всякий вектор може бути представлений у вигляді добутку модуля вектора на орт цього вектора.
Якщо над векторами. . . виконувати дії додавання, віднімання і множення на число, то в результаті будь-якого числа таких дій вийде вектор виду
представляє собою лінійну комбінацію вихідних векторів.
Вектори. . . називаються лінійно залежними (пов'язаними лінійною залежністю), якщо між ними виконується співвідношення такого вигляду:
де скалярні коефіцієнти не всі рівні нулю.
Якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то співвідношення (2) буде виконуватися, але воно не буде встановлювати залежності між векторами. Про вектори. . . кажуть, що вони лінійно незалежні.
Поняття лінійної незалежності між векторами використовується для алгебраїчної характеристики взаємного розташування векторів в просторі.
Визначення 2 Два ненульових вектора і називаються колінеарними (позначають), якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Колінеарні вектори можуть бути однаково спрямованими (як вектори і) або протилежно спрямованими (вектори і (рис 8)).
Теорема 1 Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
Слідство. Якщо між двома неколінеарна векторами виконується рівність
то обидва коефіцієнта повинні дорівнювати нулю.
Визначення 3 Ненульові вектори називаються компланарними. якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.
Будь-які два вектори завжди компланарні. а три вектора можуть і не бути компланарними.
Теорема 2 Три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.
Подання вектора у вигляді лінійної комбінації векторів і по (3) називається розкладанням на площині за двома неколінеарна векторах.
Розглянемо довільний вектор і трійку некомпланарних векторів.
Теорема 3 Кожен вектор єдиним чином розкладається за трьома некомпланарних векторах. тобто представляється у вигляді
З (4) випливає, що будь-які чотири вектори в просторі лінійно залежні.
Упорядкована трійка некомпланарних (лінійно незалежних) векторів називається базисом в безлічі геометричних векторів простору. Скалярні коефіцієнти однозначно визначаються і називаються координатами вектора щодо базису.
Аналогічно: упорядкована пара неколінеарних (лінійно незалежних) векторів утворює базис геометричних векторів на площині. Коефіцієнти в розкладанні (4) є координати вектора щодо базису.