Сутність аксіоматичного методу в побудові теорії
При аксіоматичному побудові будь-якої математичної теорії дотримуються певних правил:
- деякі поняття теорії вибираються в якості основних і приймаються без визначення;
- кожному поняттю теорії, яка не міститься в списку основних, дається визначення; в ньому роз'яснюється зміст поняття за допомогою основних і передують даному понять;
- формулюються аксіоми - пропозиції, які в даній теорії приймаються без доведення; в них розкриваються властивості основних понять;
- кожне речення теорії, яка не міститься в списку аксіом, має бути доведено; такі пропозиції називають теоремами і доводять їх на основі аксіом і теорем, що передують даній.
Якщо побудова теорії здійснюється аксіоматичним методом, тобто за названими вище правилам, то кажуть, що теорія побудована дедуктивно.
При аксіоматичному побудові теорії по суті всі твердження виводяться шляхом докази з аксіом. Тому до системи аксіом пред'являються особливі вимоги. Перш за все, вона повинна бути несуперечливої і незалежною.
Система аксіом називається несуперечливої. якщо з неї не можна логічно вивести два взаємно виключають один одного пропозиції
Якщо система аксіом не володіє цією властивістю, вона не може бути придатною для обґрунтування наукової теорії.
Несуперечлива система аксіом називається незалежною. якщо жодна з аксіом цієї системи не є наслідком інших аксіом цієї системи.
При аксіоматичному побудові однієї і тієї ж теорії можна використовувати різні системи аксіом. Але вони повинні бути рівносильними. Крім того, при виборі тієї чи іншої системи аксіом математики враховують, наскільки просто і наочно можуть бути отримані докази теорем в подальшому. Але якщо вибір аксіом умовний, то сама наука або окрема теорія не залежать від будь-яких умов, - вони є відображенням реального світу.
Аксіоматична побудова системи натуральних чисел здійснюється за сформульованим правилам. Вивчаючи цей матеріал, ми повинні побачити, як з основних понять і аксіом можна вивести всю арифметику натуральних чисел. Звичайно, його виклад в даній курсі буде не завжди суворим - деякі докази ми опускаємо в силу великої складності, але кожен такий випадок будемо обговорювати.
Ще один приклад аксіоматичного побудови теорії - геометрія Евкліда і геометрія Лобачевського.