Постановка завдання інтерполяції
зазвичай використовують для наближеного обчислення значень даної функції | (х) для значень аргументу х, відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполяцією функцій.
Розрізняють два види інтерполяції:
- глобальная- з'єднання всіх точок | (х) єдиним інтерполяційним поліномом;
- локальная- з'єднання точок відрізками прямої (по двох точках), відрізками параболи (по трьох точках).
Інтерполяційним поліномом називається відповідний інтерполянт, в якому в якості системи функцій # 966; k (x), вибирається поліном.
Існування і єдиність інтерполяційного полінома гарантується, якщо всі вузли інтерполяції xk різні. Т.к визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів ak є визначником Вандермонда, який, дорівнює
і, отже, відмінний від нуля в разі, коли всі вузли xk різні і матриця системи невирождени, то рішення системи існує і єдино.
Завдання інтерполяції функції, інтерполяційні поліноми:
Нехай на відрізку [a, b] задана функція ƒ (x). Завдання інтерполяції (або інтерполяції) складається в побудові функції g (x). збігається із заданою ƒ (x) в деякому наборі точок x1, x2. xn + 1> з відрізка [a, b] (ці точки називаються вузлами інтерполяції), тобто повинні виконуватися умови:
де yk - відомі значення функції ƒ (x) в точках xk. Функція g (x) називається інтерполянтом функції ƒ (x).
Побудова інтерполяційного полінома:
Для побудови необхідно знайти коефіцієнти.
Для знаходження коефіцієнтів необхідно побудувати систему лінійних рівнянь, яка може бути отримана на підставі того, що многочлен проходить через все вузлові точки.
В результаті маємо систему:
Порядок системи дорівнює. Параметри. відомі і задані в табличній функції. Невідомими системи є коефіцієнти.
Інтерполяційний многочлен по формулі Лагранжа має вигляд:
Многочлен є інтерполяційним многочленом, т. Е. В вузлових точках він приймає значення таблиці.
Звернемо формулу Лагранжа:
. де. (Алгоритм методу Лагранжа не передбачає отримання многочлена в явному вигляді, а відразу знаходить значення в проміжних точках.)
Побудова інтерполяційного многочлена за методом Ньютона
. Поліномом Лагранжа називається поліном n-го ступеня, що проходить через всі точки. Якщо точки не утворюють повернень, то такий поліном існує і є єдиним. Під поверненням розуміється ситуація, коли існують дві точки і такі, що.
Алгоритм побудови полінома:
1.Поліном будується як сума полиномов n-го ступеня:
2.Каждий з поліномів. що входять в суму, будується наступним чином. 3.Корнямі полінома є всі крапки за винятком точки. 4.Едінственность забезпечується за рахунок того, що коефіцієнт при старшому члені an підбирається так, щоб поліном проходив через точку. У записі Лагранжа поліном виглядає наступним чином:
Лінійна інтерполяція полягає в тому, що задані точки (i = 0. 1. n) з'єднуються прямолінійними відрізками, і функція f (x) наближається ламаної з вершинами в даних точках.
Рівняння кожного відрізка ламаної в загальному випадку різні. Оскільки є n інтервалів. то для кожного з них в якості рівняння інтерполяційного многочлена використовується рівняння прямої, що проходить через дві точки. Зокрема, для i -го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки і. у вигляді
Отже, при використанні лінійної інтерполяції спочатку потрібно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу x. а потім підставити його в формулу (1) і знайти наближене значення функції в цій точці.
Квадратична інтерполяція. Як інтерполяційної функції на відрізку приймається квадратний тричлен. Таку інтерполяцію називають також параболічної.
Рівняння квадратного тричлена
містить три невідомих коефіцієнта ai. bi. ci. для визначення яких необхідні три рівняння. Ними служать умови проходження параболи (2) через три точки. Ці умови можна записати в вигляді
При обчисленні наближеного значення функції за допомогою квадратичної інтерполяції замість формули (1) потрібно використовувати (2) з урахуванням рішення системи лінійних рівнянь (3). Інтерполяція для будь-якої точки проводиться за трьома найближчим до неї вузлів.
Приклад. Знайти наближене значення функції y = f (x) при x = 0.32, якщо відома наступна таблиця її значень: