поняття ідеалу
Ідеалом I називається підмножина елементів кільця R, що володіє наступними двома властивостями:
1. I є підгрупою адитивної групи кільця R.
2. Для будь-якого елементу a з I і будь-якого елемента r з R твори ar і ra належать I.
У кільці з позитивних і негативних чисел і нуля безліч всіх чисел, кратних деякому цілому числу, утворює ідеал.
Оскільки ідеал є підгрупою, то по ньому можуть бути утворені суміжні класи. В цьому випадку суміжні класи називаються класами відрахувань. Ідеал утворює перший рядок розкладання з нульовим елементом зліва. Далі, будь-який елемент кільця, що не належить ідеалу, може бути обраний як утворить першого класу відрахувань, а інші елементи класу будуються додатком утворює до кожного елементу ідеалу:
Першими елементами в кожному рядку є, як і раніше, елементи, не використані в попередніх рядках. Всі властивості суміжних класів вірні також для класів відрахувань. Зокрема, оскільки групова операція додавання коммутативна, ідеал є нормальним дільником, і додавання класів може бути визначено як
де позначає клас відрахувань, що містить r. При такому визначенні класи відрахувань утворюють адитивну групу (факторгруппу).
Можна також визначити множення класів відрахувань наступним чином:
Це визначення справедливо лише в тому випадку, якщо незалежно від вибору представників у класах відрахувань, які повинні бути перемножити, дане співвідношення визначає в якості твору один і той же клас відрахувань. Або, іншими словами, якщо r і r 'належать одному і тому ж класу відрахувань, то твори rs і r's повинні належати одному і тому ж класу відрахувань. Ця умова буде виконуватися тоді і тільки тоді, коли елемент r's'-rs належить ідеалу. можна записати
r's '- rs = r's' - r's + r's - rs = r '(s's) + (r' - r) s.
Оскільки елементи s'-s і r'-r належать ідеалу, то кожне з двох доданків в правій частині цієї рівності теж належить ідеалу, і, отже, ідеалу належить елемент r's'-rs. Таким чином, визначення множення класів відрахувань має сенс. Для класів відрахувань справедливі асоціативний і дистрибутивний закони:
Для них також справедливий дистрибутивний закон для множення справа. З усього цього випливає теорема:
Теорема 1. Класи відрахувань за ідеалом в деякому кільці утворюють кільце.
Дане кільце називається кільцем відрахувань.
У кільці всіх цілих чисел розглянемо ідеал, утворений усіма парними цілими числами. Тоді буде два класи відрахувань,. В цьому випадку з арифметичної точки зору кільце класів відрахувань визначає арифметику по модулю два.
Ідеали і класи відрахувань цілих чисел.
Якщо r, s і t - цілі числа і rs = t, то кажуть, що t ділиться на r або що r є дільником числа t. Ціле число p≥1, яке ділиться тільки на ± p і на ± 1 називається простим. Найбільшим спільним дільником (НСД) двох цілих чисел називається найбільший позитивний число, яке є дільником обох цих чисел. Кажуть, що два цілих числа взаємно прості. якщо їх найбільший дільник дорівнює 1.
Для будь-якої пари цілих чисел s і d існує єдина пара цілих чисел q (приватне) і r (залишок), таких, що:
Загальний дільник d двох цілих чисел r і s завжди можна представити у вигляді:
(I.2). де a і b - цілі числа.
Нехай дано числа 973 і 301. НСД: d-?
973 = 3 x 301 + 70
301 = 4 x 70 + 21
Так як число d є дільником 973 і 301, то воно повинно бути дільником і залишку 70. Оскільки d - дільник 301 і 70, воно є дільником 21. Оскільки d - дільник 70 і 21, то воно є дільником 7. З іншого боку, 7 є дільником 21, 70, 301 і 973. Тому d = 7.
7 = 70 - 3 x 21 = 70 - 3 x (301 - 4 x 70) = -3 x 301 + 13 x 70 = -3 x 301 + 13 x (973-3 x 301) = 13 x 973 - 42 x 301.
Теорема 1. Сукупність цілих чисел утворює ідеал тоді і тільки тоді, коли вона складається з усіх чисел, кратних деякому цілому числу.
Доведення. Нехай r - найменше ціле позитивне число в ідеалі і s - будь-яке інше ціле число, яке належить ідеалу. Тоді НОД цих чисел d належить ідеалу, тому що за визначенням ідеалу обидва доданків у правій частині співвідношення (i.2) належать ідеалу, і, отже, їх сума також належить ідеалу. Так як r - найменше позитивно число в ідеалі, то r≤d. Оскільки r ділиться на d, то d≤r. Отже, r = d і s ділиться на r, тобто на r ділитися будь-яке ціле число, яке належить ідеалу. Нарешті, будь-яке число, кратне r, належить ідеалу за визначенням ідеалу.
Ідеал, який складається з усіх елементів, кратних одному з елементів кільця, називається головним ідеалом. а кільце, в якому кожен ідеал головний, називається кільцем головних ідеалів.
Ідеал, який складається з усіх чисел, кратних позитивного цілого числа m, позначається через (m). Кільце класів відрахувань, утворене класами відрахувань за ідеалом (m), називається кільцем цілих чисел по модулю m.
Теорема 2. Кожен клас відрахувань по модулю m містить або 0, або ціле позитивне число, менше m. Нуль є елементом ідеалу, а всі інші цілі позитивні числа менше m, належать різним класам відрахувань.
Доведення. Якщо s - будь-який елемент деякого класу відрахувань, то оскільки. r - належить тому ж самому класу відрахувань і. Якщо r і s належать одному і тому ж класу відрахувань, то різниця r-s є елементом ідеалу, і, отже, кратна m. Якщо r ≠ s то, очевидно, ці цифри не можуть бути обидва менше ніж m і невід'ємні.
Теорема 3. Кільце класів лишків за модулем m є полем тоді і тільки тоді, коли m - просте число.
Доказ: Якщо m - не проста число, то m = rs для деяких цілих чисел r і s, які не кратні m. Тому. і якщо клас відрахувань володіє зворотним. то. що суперечить припущенню. Тому клас відрахувань не може мати зворотної і кільце класів відрахувань не є полем.
Тепер залишається показати, що якщо m - просте число, то для кожного класу відрахувань, крім 0 (ідеалу), існує зворотний. Кожен такий клас відрахувань містить ціле число s, яке менше ніж m і не дорівнює 0. Оскільки 1 збігається з зворотним до неї елементом, можна припустити, що s> 1. Так як m за припущенням - просте число, то найбільший спільний дільник s і m має дорівнювати або m, або 1. Але m> s, і, отже, s не може ділитися на m. Тому НСД m і s дорівнює 1. В силу співвідношення (i.2):. І звідси випливає, що. тобто клас відрахувань є зворотним до класу відрахувань.
Побудовані таким чином поля називаються кратними полями або полями Галуа з p елементів GF (p).