параграф 30

Електронний підручник з геометрії

Глава 4. Лінії другого порядку на площині

§ 30. Побудова еліпса. Параметричне рівняння еліпса.

Еліпс як результат стиснення окружності до одного зі своїх діаметрів

Нехай і - дві концентричні кола з центром в точці і радіусами і (), а й - два взаємно перпендикулярних діаметра кіл. Нехай - довільний промінь, що виходить з точки і. нехай || . ; || . .

Нехай промінь обертається навколо точки. досліджуємо безліч точок. отриманих при цьому обертанні. Введемо прямокутну декартову систему координат:. Розглянемо точку. висловимо і через та через. Якщо. то очевидно, що. але. тобто

Отримали параметричне рівняння безлічі точок. Виключимо параметр. Для цього зведемо в квадрат і складемо обидві частини рівняння (1):

Але (2) - рівняння еліпса, тобто всі крапки розглянутого безлічі є точки еліпса, але з цього ще не випливає, що (1) є рівняння розглянутого безлічі точок. Для того, щоб це довести, необхідно переконатися в тому, що будь-яка точка еліпса (1) належить розглянутого безлічі.

Теорема 49. Будь-який еліпс, відмінний від окружності, може бути розглянутий як образ деякої окружності при перетворенні стиснення до діаметру.

нехай еліпс # 947; заданий канонічним рівнянням

. Побудуємо коло на діаметрі; нехай точки і - точки перетину кола з віссю. Розглянемо перетворення стиснення до прямої. за якого . Нехай. а. тоді зв'язок між і запишеться у вигляді:

Розглянемо образ побудованої нами колі при такому стискуванні. Так як окружність має рівняння. то, підставляючи і з (4), отримаємо:

Тобто маємо рівняння вихідного еліпса в новій системі координат (масштаб по осі змінили).

1 спосіб (за визначенням). Візьмемо шматок нитки довжиною і кінці її закріпимо в фокусах. Якщо відтягнути нитку кінчиком олівця і провести лінію тримаючи нитку натягнутою, то отримаємо еліпс з великою віссю і відстанню між фокусами.

2 спосіб (побудова за полуосям). Даний спосіб побудови точок еліпса вказано на початку цього параграфа при виведенні параметричного рівняння. Необхідно провести дві концентричні кола з радіусами і. після чого, провівши ряд радіусів більшої окружності, провести прямі паралельно малої півосі, а через кінці радіусів меншою окружності - прямі паралельні велика піввісь. Точки перетину отриманих прямих - є точки еліпса.