Ноу Інти, лекція, коротка історія та предмет математики
Анотація: Розглядаються історія розвитку та короткий виклад предмета математики, основні два її напрямки (теоретична і прикладна), а також міждисциплінарна, світоглядна, виховна, культурна й естетична ролі математики в суспільстві і пізнанні.
Коротка історія та предмет математики
Історично складові частини математики - арифметика і геометрія - виросли, як відомо, з потреб практики, з необхідності індуктивного рішення різних практичних завдань землеробства, мореплавства, астрономії, збору податків, повернення боргів, спостереження за небом, розподілу врожаю і т.п. При створенні теоретичних основ математики, основ математики як наукової мови, формального мови наук, різних теоретичних побудов стали важливими елементами різні узагальнення і абстракції, які виходять із цих практичних завдань, і їх інструментарій.
Витоки математики як науки і мови знань сходять до Стародавнього Єгипту і Стародавнього Вавилону. Існує й інша версія істориків науки, які відносять появу математики (як теоретичної дисципліни) до більш пізнього, грецькому періоду її розвитку - періоду початку використання доказів геометричних теорем.
Математика в Греції розвивалася досить швидко, логічно, структурно і оформилася як особлива наука з особливим методом дедуктивного (від загального до конкретного) докази. Поява математики як систематичної науки зробило, в свою чергу. величезне розвиваюче вплив на інші галузі знання.
Математика стала не просто лише корисним практичним апаратом, а й основним інструментом виявлення внутрішньої сутності явищ і процесів, побудови різних теоретичних висновків, формальних підстав наук.
Це не могло не привести в давнину до містифікації математики, що знайшло відображення в філософському вченні знаменитого Піфагора та школи його послідовників. Основна теза пифагореизма - "все є число", тобто всюди є і можуть бути виявлені кількісні зв'язку, а будь-яка закономірність може бути виражена і зрозуміла математичними співвідношеннями.
Поряд з піфагорейської філософією, існувала і атомістична філософія (філософська школа Демокрита). У атомистическом підході математичні закономірності виступають вже як вторинні по відношенню до атому - першооснові. Фізичне початок логічно передує математичного і визначає властивості останнього. Математичне, в свою чергу. розвиває фізичне, природничо, дозволяє відкривати і досліджувати нові зв'язки і відносини в навколишньому світі.
В епоху Середньовіччя математика розвивалася, в основному, в руслі пифагореизма. Незважаючи на багато оман і неточності, ця епоха дала світу багатьох чудових математиків і ряд важливих теорем і положень математики, заклала елементарні теоретичні основи всього природознавства.
У XIV-XV ст. в Європі почався творчий процес розвитку математичного мислення в арифметиці, алгебри та геометрії, що тривав близько двох століть. Математика стала розглядатися не як абсолютне, первинне знання. а як знання емпіричне, вторинне, залежне від зовнішніх реалій. В цей час розвивалися основні ідеї диференціального й інтегрального числення, сформувалися основні поняття вищої математики - нескінченно малий приріст. послідовність, межа. похідна, диференціал і ін. (Зауважимо, що ми ніде далі не вживатимемо словосполучення "вища математика", вважаючи математику єдиної для тих, хто її вивчає, розрізняючи лише етапи вивчення математики - шкільний або вузівський).
Необхідність обчислення площ складних фігур, обмежених довільними кривими, розвивала методи диференціального й інтегрального числення, розширювала перелік вирішуваних завдань і підвищувала складність вирішуваних завдань, сформувала логічно струнку і досить повну систему математичних понять.
У XVI-XVII ст. з'явилися нові математичні теорії, такі, як, наприклад, теорія ймовірностей, комбінаторика. які потім в XVIII столітті стали ефективно використовуватися в різних областях науки і практики. У математиці з XVII в. широко починає застосовуватися метод докази загальних положень і висновків на основі приватних положень і висновків, званий методом математичної індукції. Деякі історики математики вважають правильним відраховувати історію математики саме з цього періоду.
Розвивалася і геометрія. яка виходила в своїх дослідженнях за вузькі межі практичних потреб (вимірювання довжини, площі, обсягу і т.д.).
Неевклидова геометрія Н. І. Лобачевського (спираючись, в основному, на логічне мислення. На логічні системи та логічні висновки з них) показала, що розширення предмета математики важливо не тільки для внутрішнього розвитку самої математики і перегляду стійких математичних уявлень, а й для з'ясування ролі математики як мови знань. Неевклідові геометрії продемонстрували, що геометрія Евкліда - не єдиний спосіб сприйняття чуттєвих образів в світі. Істинність геометрії Лобачевського знаходить непрямі підтвердження в астрономії, фізики. Відомий геометр Ф.Клейна довів, що геометрія Лобачевського несуперечлива, якщо несуперечлива геометрія Евкліда.
Основою розвитку математики в XX столітті став сформувався формальну мову цифр, символів, операцій, геометричних образів, структур, співвідношень для формально логічного опису дійсності, - тобто сформувався формальний, наукова мова всіх галузей знання, в першу чергу. природничо-наукових. Ця мова успішно використовується в даний час і в інших, «не природничо-" областях.
Мова математики - це штучний, формальний мову. з усіма його недоліками (наприклад, малої образністю) і достоїнствами (наприклад, стислістю опису).
Математичний опис фактів, законів природи, суспільства і пізнання дозволяє нам по-новому поглянути на їх взаємозв'язку, виявити нові зв'язки. Найчастіше ці зв'язки неможливо виявити без математики, на досвіді, в реальному світі.
"Математики - свого роду французи: коли говориш з ними, вони переводять твої слова на свою мову, і ось відразу виходить щось інше" (И.В.Гете).
Сучасна теоретична ( "чиста") математика це наука про математичні структурах. математичних инвариантах різних систем і процесів.
"Математика - це мистецтво давати різним речам одне найменування" (А. Пуанкаре).
Сучасна прикладна ( «не чиста") математика - це наука, що займається пошуком, математичним описом і дослідженням різної природи інваріантів і їх додатків.
Таким чином, це дві гілки однієї і тієї ж науки, і одна з них не може розвиватися без іншого. Віднесення однієї і тієї ж задачі до чистої або до прикладної математики залежить, в основному, від мети і доступних ресурсів її дослідження.
Предмет науки зазвичай розуміють як сукупність, систему тих закономірностей, які вивчаються нею.
Строго кажучи, математика безпосередньо не вивчає реально закони розвитку природи або суспільства, як, наприклад, фізика, хімія, біологія, історія та ін. Вона допомагає в їх вивченні інших наук, пов'язує ці науки, закони, підсилює їх.
Математика дозволяє отримувати абстрактне знання про закони і процесах, а ці знання потім використовують всі інші науки.
Служіння наук не є єдиною функцією математики, її головною метою. У неї є свої, найважливіші внутрішні цілі еволюції.
Специфіка математичного методу вивчення дійсності визначає і особливість критерію істини в математиці. В математиці критерій істини виступає у своєрідній формі: ми не можемо довести істинність математичного пропозиції, грунтуючись лише тільки на практиці, як у багатьох інших науках.
Практика є вихідним пунктом математичних понять, але в якості безпосереднього критерію істини тверджень теоретичної математики вона зазвичай не виступає. Тільки в прикладній математиці практика може визначати адекватність і ефективність математичного апарату для опису конкретних систем і процесів. При цьому практика як критерій адекватності теорії не завжди може бути застосована.