Мильні бульбашки 1 987 Асламазов л
Мильні бульбашки
"Видуйте мильна бульбашка і дивіться на нього: ви можете займатися все життя його вивченням, не перестаючи отримувати з нього уроки фізики", - писав великий англійський фізик лорд Кельвін. Зокрема, мильна плівка є прекрасним об'єктом для вивчення поверхневого натягу. Сила тяжіння тут практично ролі не грає, так як мильні плівки надзвичайно тонкі і їх маса зовсім незначна. Тому основну роль грають сили поверхневого натягу, завдяки яким форма плівки завжди виявляється такою, що її площа мінімально можлива в даних умовах.
Однак чому плівки обов'язково мильні? Чому б не вивчати плівку з дистильованої води, адже її коефіцієнт поверхневого натягу в кілька разів перевищує коефіцієнт поверхневого натягу мильного розчину.
Справа, виявляється, зовсім не в величині коефіцієнта поверхневого натягу, а в структурі мильної плівки. Мило багато так званими поверхнево-активними речовинами, кінці довгих молекул яких по-різному ставляться до води: один кінець охоче з'єднується з молекулою води, інший до води байдужий. Тому мильна плівка володіє складною структурою: утворює її мильний розчин як би "армований" частоколом впорядкування розташованих молекул поверхнево-активної речовини, що входить до складу мила * (рис. 1).
* (Див. Книгу: Гегузін Я. Е. Пузирі.- М. Наука, 1985.- Бібліотечка "Квант", вип. 46.)
Повернемося до мильною бульбашкою. Напевно, кожному доводилося не тільки спостерігати ці дивно красиві творіння, але і пускати їх. Вони сферична за формою і довго можуть вільно парити в повітрі. Тиск всередині міхура виявляється більше атмосферного. Надмірний тиск обумовлено тією обставиною, що мильна плівка, прагнучи ще більше зменшити свою поверхню, здавлює повітря всередині міхура, причому чим менше його радіус R, тим більшим виявляється надлишковий тиск усередині міхура. Визначимо величину цього надлишкового тиску # 916; Pсф.
Поставимо уявний експеримент. Нехай поверхневий натяг плівки міхура трохи ослабла, в результаті чого його радіус збільшився на величину # 948; R< # 948; S = 4π (R + # 948; R) 2 - 4πR 2 ≈ 8πR # 948; R (S = 4πR 2 - поверхня сфери), а отже, збільшується і поверхнева енергія міхура: (оскільки # 948; Е вже пропорційно малій величині # 948; R, то зміною коефіцієнта поверхневого натягу тут можна знехтувати). Зауважте, що у виразі (*) з'явилася двійка, якій немає у визначенні поверхневої енергії. Нею ми врахували той факт, що у мильної бульбашки є дві поверхні - зовнішня і внутрішня; при збільшенні його радіуса на # 948; R площа кожної з них зростає на 8πR # 948; R. Збільшення поверхневої енергії міхура відбулося за рахунок роботи стисненого в ньому повітря. Вважаючи, що тиск в ньому при такому малому зміні обсягу не змінюється, можемо записати Зміна обсягу міхура визначається обсягом тонкостінної сфери (рис. 2): звідки для # 948; Е знаходимо Порівнюючи цей вираз з знайденої раніше формулою (*), отримуємо, що обумовлене поверхневий натяг надлишковий тиск усередині сферичного мильної бульбашки через # 963; ' = 2 # 963; ми позначили подвоєний коефіцієнт поверхневого натягу рідини. Зрозуміло, що якби йшлося про надмірному тиску під одинарної викривленою поверхнею (наприклад, всередині сферичної краплі рідини), то воно визначалося б виразом # 916; Різб = 2 # 963; / R. Вхідна в цей вислів величина, зворотна радіусу сфери, називається кривизною сфери: # 961; = 1 / R. Отже, ми прийшли до важливого висновку про те, що надлишковий тиск пропорційно кривизні сфери. Однак сфера - не єдина форма, яку можна надати мильній бульбашці. Якщо помістити міхур між двома кільцями, то його можна розтягувати, поки він не прийме форму циліндра зі сферичними "шапками" (рис. 3). Чому дорівнює надлишковий тиск усередині такого міхура? У циліндричної поверхні кривизна в різних напрямках різна. Уздовж твірної циліндра кривизна дорівнює нулю (утворює - пряма лінія) *. а в перерізі, перпендикулярному осі циліндра, його кривизна дорівнює 1 / R. де R - радіус циліндра. Яке ж значення # 961; ми повинні підставити в попередню формулу? Виявляється, різниця тисків по різні боки будь-якій поверхні визначається її середньої кривизною. Що ж це за величина? * (Що таке кривизна плоскої кривої? Кривизна окружності визначається так само, як і кривизна сфери: # 961; окр = 1 / R. де R - радіус кола. Якщо ж крива не є колом, то, проте, її окремі маленькі ділянки можна наближено вважати дугами кіл певних радіусів. Величини, зворотні цим радіусів і називаються кривизнами плоскої кривої в різних її точках. ) Проведемо через нормаль до поверхні в точці А площині. Перетину циліндричної поверхні цими площинами (вони називаються нормальними перетинами) можуть бути окружністю, еліпсом або прямий (рис. 4). Легко бачити, що кривизни цих перетинів в точці А різні: максимальної кривизною володіє поперечний переріз - коло, а мінімальної, яка дорівнює нулю, - пряма (подовжній перетин). Середня кривизна # 961; ср визначається як полусумма максимальною і мінімальною кривизни нормальних перетинів: Це визначення годиться не тільки для циліндра; так можна визначати середню кривизну в даній точці будь-якій поверхні. У циліндричної поверхні в будь-якій точці максимальна кривизна # 961; max = 1 / R. де R - радіус поперечного перерізу циліндра, а # 961; min = 0. Тому середня кривизна циліндра # 961; ц = 1 / 2R. а надлишковий тиск усередині циліндричного міхура # 916; Рц = # 963; ' / R. Як видно, у циліндричного міхура надлишковий тиск таке ж, як у сферичного міхура вдвічі більшого радіусу. Тому радіус сферичних "шапок" у циліндричного міхура буде вдвічі більше, ніж радіус циліндра, і вони є сферичними сегментами, а не напівсферами. А що якщо взагалі знищити надлишковий тиск в такому міхурі, змусивши, наприклад, лопнути "шапки"? Здавалося б, так як всередині міхура немає ніякого надлишкового тиску, поверхню його не повинна мати кривизни. А проте стінки міхура згинаються всередину, і міхур приймає форму катеноїд (від латинського слова "катена" - ланцюг; цю поверхню можна отримати обертанням навколо осі кривої, що має формуючи підвішеною горизонтально за кінці ланцюга - ланцюгової лінії). У чому ж Я тут справа? Придивіться до цієї поверхні (рис. 5). Зверніть увагу на її вузьке місце - перехоплення. Легко бачити, що цей перехоплення є одночасно і опуклим, і увігнутим. Його поперечний переріз - коло, а поздовжнє - ланцюгова лінія. Кривизна напрямки всередину повинна збільшувати тиск всередині міхура, кривизна ж напрямку назовні повинна зменшувати його. (Тиск під увігнутою поверхнею більше, ніж над нею.) У разі катеноїд ці кривизни однакові за величиною, і так як спрямовані вони в протилежні сторони, середня кривизна дорівнює нулю. Отже, всередині такого міхура немає надлишкового тиску. Існує безліч інших поверхонь, які здаються кривими в усіх напрямках, але тим не менше їх середня кривизна дорівнює нулю, і ці поверхні не справляють ніякого тиску. Щоб отримати їх, досить взяти будь-яку гнуту дротяну рамку і занурити її в мильну воду. Виймаючи рамку, можна побачити різноманітні поверхні з нульовою середньою кривизною, форма яких залежить від форми рамки. Однак катеноїд - єдина, крім площині, поверхня обертання з нульовою середньою кривизною. Одним із завдань спеціальної математичної науки - диференціальної геометрії - є відшукання таких поверхонь з нульовою середньою кривизною, натягнутих на замкнуті просторові криві. Існує точна математична теорема, яка стверджує, що площа таких поверхонь серед інших поверхонь, натягнутих на ту ж криву, завжди мінімальна, і вона нам здасться тепер очевидною. Мильні бульбашки можуть з'єднуватися один з одним, утворюючи піну. Незважаючи на гадану хаотичність в розташуванні мильних плівок в піні, завжди виконується такий закон: плівки перетинають один одного лише під рівними кутами (див. Рис. 6). Розглянемо, наприклад, два міхура, що знаходяться в контакті один з одним і мають загальну перегородку (рис. 7). Надлишкові (в порівнянні з атмосферним) тиску всередині бульбашок різні і визначаються формулою Лапласа: Тому перегородка повинна бути такою, щоб створювати додатковий тиск всередині бульбашок. Отже, три бульбашок. Отже, вона повинна мати певну кривизною. Радіус R3 кривизни перегородки визначається зі співвідношення На рис. 7 зображено розріз бульбашок в площині, що проходить через їх центри. Точки А і В являють собою точки перетину з площиною креслення кола, по якому стикаються два міхура. У будь-якій точці цієї окружності зустрічаються три плівки. Так як їх поверхневий натяг однаково, то сили їх поверхневого натягу можуть "зрівноважити" один одного лише в тому випадку, коли кути, під якими вони перетинаються, рівні між собою, і отже, кожен дорівнює 120 °.Схожі статті