Край смуги власного поглинання
Край смуги власного поглинання.
Характерна особливість напівпровідників - різке зростання коефіцієнта поглинання в малому спектральному інтервалі. Чисті напівпровідники більш-менш прозорі для фотонів, енергія яких менше ширини забороненої зони. Наприклад, в Німеччині коефіцієнт поглинання до в цій області може бути менше Проте коли енергія фотонів наближається до ширини забороненої зони, значення до швидко зростають до смгх в інтервалі енергій порядку При великих енергіях напівпровідники характеризуються, по суті, металевим поглинанням. Ділянка різкого зростання до називається краєм смуги власного поглинання. Це поглинання пов'язано з індукованими переходами електронів з валентної зони в зону провідності.
Детальне вивчення краю власного поглинання дає відомості про ширину забороненої зони, електронних станах дна зони провідності і стелі валентної зони, а також щодо характеру та обсягів ймовірностей оптичних переходів. Ці відомості становлять особливу цінність, оскільки саме стану, безпосередньо примикають до забороненої зони, визначають більшість оптичних і електричних характеристик напівпровідників, в тому числі і лазерних параметрів.
Розрізняють два типи міжзонних оптичних переходів: прямі і непрямі. Прямий перехід відбувається або спонтанно, або під дією електромагнітного поля. Імпульс електрона при цьому залишається практично незмінним. У разі непрямого переходу імпульс електрона змінюється. Електрон взаємодіє не тільки з фотонами, а й з дефектами решітки (фононами, домішковими атомами, дислокаціями і ін.).
Хоча ймовірності непрямих переходів, як правило, на 2
3 порядки менше ймовірностей прямих переходів, питома вага цих процесів в сильному ступені залежить від будови енергетичних зон. При цьому слід окремо розглядати два можливих варіанти: а) мінімум зони провідності і максимум валентної зони знаходяться в одній точці зони Брілюена, т. Е. Зазначені екстремуми розташовані в різних точках зони Бріллюена (рис. 19).
Розглянемо спочатку перший випадок. З огляду на, що добуток дорівнює потужності поглинання для коефіцієнта поглинання знаходимо [87]
Мал. 19. Прямі та непрямі оптичні переходи в напівпровідниках
де і щільність променистої енергії в одиниці об'єму
Так як електронні стану в валентної зоні і зоні провідності описуються функціями Блоха (2.37), то матричний елемент (6.15) в дипольному наближенні можна представити у вигляді [107]
У вираз (6.25) введена -функція, оскільки при всіх значеннях істотно відмінних від нуля, буде знакозмінної функцією, а Хвильові вектори електронів по порядку величини рівні постійного зворотного решітки та значно перевершують Тому можна замінити на Отже, при прямих оптичних переходах імпульс електрона залишається незмінним .
Якщо припустити для простоти, що екстремальні точки зон характеризуються ізотропними ефективними масами причому тоді залежність енергії від хвильового вектора буде виражатися формулами:
Тут дно зони провідності і стеля валентної зони відповідно, ширина забороненої зони, приведена маса,
За допомогою (6.26) на підставі (2.20) знаходимо приведену щільність станів в розрахунку на одиницю об'єму:
Як вже зазначалося, при виконанні правил відбору по хвильовому вектору Гінд дається виразом (6.20). Підставляючи туди значення з (6.28), вважаючи і використовуючи (6.24), приходимо до такої формули для коефіцієнта поглинання при прямих переходах
У загальному випадку залежить від частоти Тому щоб знайти форму краю смуги поглинання, необхідно цю залежність висловити в явному вигляді. З цією метою розкладемо матричний елемент еярсо в ряд за ступенями до близько точки
і будемо підставляти в (6.29) тільки перший не дорівнює нулю член ряду. При цьому може виявитися, що або або першому випадку переходи називаються дозволеними, у другому - забороненими. Звідси з урахуванням (6.27) знаходимо коефіцієнти поглинання для дозволених і заборонених переходів [107, 108]:
Як легко бачити, частотні залежності істотно різняться це повністю визначається симетрією хвильових функцій в точці.
Якщо максимум енергії валентної зони зміщений в k-просторі щодо мінімуму зони провідності, то в такій системі теж можливі прямі переходи, так само як можливі непрямі переходи в системах з Однак в разі кщшктах прямі переходи вже не будуть визначати межу смуги поглинання. Квантовомеханічна теорія поглинання за участю непрямих переходів розвинена в роботах [108, 109]. Тут ми обмежимося якісним розглядом питання. Додаткові відомості можна знайти в [107, 110, 111].
Оператор взаємодії електронів з дефектами решітки можна розглядати як оператор обурення Тоді в рамках теорії обурення ймовірність переходу електрона з одного стану в інший буде визначатися двома операторами обурення
При обчисленні матричних елементів операторів обурення використовуються хвильові функції, що описують вихідне і кінцеве стану електронів і дефектів решітки, наприклад фононів.
Закон збереження енергії при непрямих переходах набирає вигляду
де енергія фонона; - енергії, відлічувані відповідно від дна зони провідності і стелі валентної зони. Верхній знак в (6.32) відповідає випускання фонона, нижній - поглинання.
Мінімальна частота світла, який може поглинатися, визначається умовою При заданому значенні енергія змінюється від до Оскільки щільності станів в зонах рівні число дозволених пар переходів в спектральному інтервалі буде виражатися інтегралом
Таким чином, коефіцієнт поглинання для непрямих переходів з поглинанням фонона буде пропорційний
Крім того, він повинен бути пропорційним числу самих фононів з енергією що дорівнює:
З огляду на далі, що ймовірності переходів з поглинанням фонона відносяться до ймовірності переходу з випусканням фонона як коефіцієнт поглинання можна представити у вигляді
Остання формула справедлива для Якщо то другий доданок в (6.34) слід опустити. Для При наявності різних типів коливань (акустичні та оптичні поздовжні і поперечні гілки) коефіцієнт поглинання буде визначатися сумою доданків типу (6.34). Для непрямих дозволених і заборонених переходів в [108] отримано:
На досвіді коефіцієнт поглинання навіть чистих напівпровідників не дорівнює нулю на кордоні, що відповідає ширині забороненої зони, а монотонно зменшується. Причини цього явища будуть розглянуті в § 8.