Кінематика абсолютно твердого тіла
Абсолютно твердим тілом називають тіло при русі якого відстань між двома фіксованими точками не змінюється. Тверде тіло може здійснювати рухи двох типів - поступальний і обертальний.
При поступальному русі будь-яка пряма, жорстко пов'язана з тілом, залишається паралельною свого початкового напрямку, а траєкторії двох будь-яких, пов'язаних з тілом, точок абсолютно ідентичні (їх можна повністю поєднати паралельним переносом). Прикладом поступального руху щодо землі може бути кабіна ліфта, пасажирські кабіни «колеса огляду», стрілка компаса при довільному переміщенні його корпусу в горизонтальному напрямку і т.д.
При поступальному русі прирощення радіус-векторів всіх точок твердого тіла однакове, а значить однакові їх швидкості і прискорення. Отже поступальний рух твердого тіла описується кінематичними рівняннями будь-який з його точок.
Якщо при обертанні твердого тіла дві його точки A і B залишаються нерухомими, то будь-яка точка C. лежить на прямій AB також буде нерухомою. Якби точка C переміщалася, то довжина відрізків AC і BC змінювалися, що суперечить визначенню абсолютно твердого тіла. Пряму, що проходить через відрізок AB називають віссю обертання. а рух твердого тіла називають обертанням тіла навколо нерухомої осі.
Мал. 1 Абсолютно тверде тіло
Розглянемо довільну точку тіла M не лежить на осі обертання AB (рисунок 1). Оскільки довжини відрізків MA. MB і MN. де N точка перетину перпендикуляра опущеного з точки M на вісь AB. під час руху залишаються постійними, то всі крапки тіла, що обертається описують коло радіусом ρ, рівного відстані від точки до осі обертання, в площині, перпендикулярній осі обертання. Прикладом обертання навколо нерухомої осі можуть служити ротор електродвигуна або турбіни.
Якщо абсолютно тверде тіло закріплено в одній точці, то його рух називають обертанням тіла навколо нерухомої точки. а саму точку називають центром обертання. При такому русі можна визначити миттєву вісь обертання як вісь, що проходить через центр обертання і перпендикулярну площині руху. Положення миттєвої осі відносно нерухомої системи відліку і самого тіла може змінюватися з часом.
На відміну від поступального руху, при обертальному русі швидкості точок v. розташовані на різній відстані від осі обертання, будуть різними. Тому при обертальному русі швидкість v окремої точки не може служити кінематичної характеристикою руху всього тіла.
Мал. 2 Обертання абсолютно твердого тіла
Розглянемо обертальний рух тіла відносно центру обертання O з миттєвою віссю обертання OO1. причому точка O1 відповідає центру дуги кола по якій рухається точки M (малюнок 2). Радіус-вектор точки M щодо центру обертання O позначимо через r. радіус-вектор точки M щодо O1 позначимо через ρ. а вектор, спрямований з точки O в точку O1 позначимо через a. Ці вектора пов'язані співвідношенням
За малий проміжок часу dt вектор ρ повернеться в площині, перпендикулярній осі OO1 на кут dφ. Радіус-вектор будь-якої точки твердого тіла (крім точок на осі, оскільки їх радіус-вектора дорівнюють нулю) за час dt також повернеться на кут dφ. в іншому випадку це призвело б і зміни відстані між точками, що суперечить визначенню абсолютно твердого тіла. Виходить, що кут повороту dφ характеризує обертальний рух всього тіла. Введемо вектор елементарного повороту тіла (малого повороту тіла) dφ. чисельно рівного куту повороту dφ і спрямованого уздовж осі OO1. Напрямок цього вектора збігається з напрямком поступального руху свердлика, рукоятка якого обертається разом з тілом, тобто підпорядковується правилу свердлика>.
Послідовність двох елементарних поворотів dφ1 і dφ2. підпорядковується правилу додавання векторів, тобто сумарний елементарний поворот еквівалентний одному повороту
Швидкість зміни кута повороту φ називають кутовий скоростьюω і за визначенням швидкості як відношення малого збільшення кута за малий час dt маємо:
Вектор кутової швидкості ω характеризує величину і напрям зміни кута повороту. Якщо вектор кутової швидкості постійний ω = const. то рух називають рівномірним обертанням навколо нерухомої осі.
Швидкість v руху довільної точки M називають лінійною швидкістю. При обертанні тіла з кутовою швидкістю ω за час dt точка M проходить по дузі кола радіуса ρ шлях рівний ds. Лінійна швидкість дорівнює
З малюнка 2 видно, що вектор лінійної швидкості перпендикулярний векторах ω і ρ. а його напрямок збігається з їх векторним твором [ω. ρ]. Крім того, вектора ω і ρ взаємно перпендикулярні, отже [ω. ρ] = ρω = v. отже,
зліва векторно на ω. Оскільки вектор a коллінеарен ω і їх векторний добуток дорівнює нулю, отримаємо
Ми розглянули найбільш загальний випадок обертання тіла відносно нерухомої точки - центру обертання O. В окремому випадку, коли тіло обертається відносно нерухомої осі, як точка O можна вибрати будь-яку точку, розташовану на осі обертання.
Для характеристики рівномірного обертального руху використовують ряд понять.- Періодом вращеніяT називають проміжок часу, за який рівномірно обертається з кутовою швидкістю ω тіло здійснює повний оборот, тобто провертається на кут φ = 2π.
- Частотою вращеніяf називається число оборотів, що здійснюються тілом, за 1 секунду при рівномірному обертанні з кутовою швидкістю ω.
Ці величини пов'язані між собою в такий спосіб:
Якщо тіло обертається нерівномірно, то вводиться характеристика швидкості зміни кутової швидкості - кутова ускореніеε.
У разі обертання тіла навколо нерухомої осі, напрямок вектора кутового прискорення не змінюється, а змінюється тільки його величина. Вектор кутового прискорення ε спрямований уздовж осі обертання, в напрямку вектора кутової швидкості, якщо його величина позитивна (прискорене обертання) і в напрямку протилежному вектору кутової швидкості, якщо його величина негативна (уповільнене обертання).
Висловимо тангенціальне і нормальне прискорення довільної точки M тіла, що обертається навколо нерухомої осі, через кутові характеристики:
Для векторних величин, справедливі наступні співвідношення:
Розглянемо деякі окремі випадки обертання твердого тіла:- рівномірне обертання
Поступальний і обертальний рух твердого тіла є найпростішими типами руху. У загальному випадку тверде тіло може здійснювати складне довільний рух. В курсі теоретичної механіки доводиться, що будь-яке складне рух твердого тіла можна розглядати як суму поступального і обертального рухів.
Використана література- А.А. Детлаф, Б.М. Яворський, Л.Б. Мілковская. Курс фізики. М. Вища школа. 1 973.