Як визначається і що характеризує дисперсія випадкової величини x перерахуйте основні
На практиці часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Тому обчислюють середнє значення квадратаотклоненія, которе і називається дисперсією. Дисперсією (розсіюванням) випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: D (X) = M [XM (X)] 2. Більш зручна формула: D (X) = E (X 2) -E 2 (X).
1 0. Дисперсія постійної величини С дорівнює нулю: D (С) = 0.
2 0. Постійний множник можна вино-сить за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:
3 0. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4 0. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D (X-Y) = D (X) + D (Y).
5 0 Додаток (віднімання) константи до випадкової величиною не змінює її дисперсії. D (X + C) = D (X).
59. Доведіть, що якщо X - дискретна випадкова величина, то D (X) = M (X 2) -M2 (X).
Док-во: Математичне сподівання M (X) є постійна величина, отже, 2M (X) і M 2 (X) також постійні величини. D (X) = E (X 2) -E 2 (X) = E [XE (X)] 2 = E [X 2 -2XE (X) + E 2 (X)] = E (X 2) -2E (X) E (X) + E 2 (X) = E (X 2) -2E 2 (X) + E 2 (X) = E (X 2) -E 2 (X). тобто D (X) = E (X 2) -E 2 (X).
60. Нехай X - дискретна випадкова величина. Чи може виконуватися нерівність M (X 2)<(M(X ))2. Ответ обоснуйте.
За визначенням дисперсії D (X) = E [X-E (X)] 2, тоді
Отже, для будь-якої с.в.Х D (X) = E (X2) - E2 (X), D (X) ≥0. тому для будь-якої С.В. Х завжди виконується нерівність E (X 2) ≥E 2 (X). Тому нерівність М (Х 2)<[E(X)] 2 выполняться не может.
61. Доведіть, що якщо X і Y - незалежні випадкові величини, то D [XY] = D [X] # 8901; D [Y] + E [X] 2 D [Y] + E [Y] 2 D [X ].
D (XY) = (E (XY) 2) - [E (XY)] 2 = E (X 2 Y 2) - (E (x)) 2 (E (Y)) 2 = E (X 2) E (Y 2) -E 2 (X) E 2 (Y) = (D (X) + [E (X)] 2) (D (Y) + [E (Y)] 2) - E 2 (X) E 2 (Y) = D (X) D (Y) + E (Y) 2 D (X) + E (X) 2 D (Y). Ч.т.д.
62. Доведіть, що для біноміального закону розподілу сл. величина з ймовірністю успіху р в кожному з n незалежних випробувань виконується рівність:
63. Нехай Х - дискретна випадкова величина, розподілена по геометричному закону з параметром р. Доведіть, що D (X) =.
67. Як визначається ковариация Cov (X, Y) випадкових величин X, Y? Доведіть, що D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2Cov (X, Y).
1.Коваріаціей COV (X, Y) випадкових величин X, Y називається математичне сподівання добутку відхилень X і Y.
2. Нехай Х та У - дві випадкові величини. Покладемо, Z = X + Y По теоремі складання математичних очікувань матимемо: М (Z) = E (X) + E (Y). Віднімаючи це рівність з попереднього, отримаємо:. де позначає, як і раніше, відхилення величини Х. Звідси = Знайдемо дисперсію Х + У. Маємо D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2E (), де М () = Cov (X, Y).
Формула приймає вид: D (X + Y) = D (X) + D (Y) = 2Cov (X, Y)
64. Сформулюйте основні властивості ковариации Cov (X, Y) випадкових величин Х і У. Доведіть, що Cov (X, Y) = E (XY) -E (X) E (Y)
Коваріація (кореляційним моментом) Cov (X. Y) випадкових величин X. Y називається мате-тичних сподівання добутку відхилень X і Y
Коваріація має такі властивості:
4. Якщо X і Y незалежні, то Cov (X. Y) = 0.
Якщо Cov (X. Y) = 0, то випадкові величини X і Y називаються некоррелірованнимі.
65. Як визначається коефіцієнт кореляції # 961; (X; Y) випадкових величин X іY. Які основні властивості коефіцієнта кореляції? Що можна сказати про X і Y. якщо # 1472; # 961; (X; Y) # 1472; = 1?
Коефіцієнт кореляції випадкових величин X і Y визначається формулою # 961; (X; Y) = Cov (X; Y) / (# 963; (X) * # 963; (Y)), де Cov (X; Y) - коваріація X і Y, а # 963; (X) - середнє квадратичне відхилення Х, # 963; (Y) - середнє квадратичне відхилення Y.
2) # 1472; # 961; (X; Y) # 1472; <=1
3) # 1472; # 961; (X; Y) # 1472; = 1 рівнозначно існуванню констант a, b таких, що рівність Y = a + bX виконується з імовірністю 1.
70. Чому дорівнює і Cov за умови незалежності випадкових величин. Що можна сказати про. якщо. де і - деякі числа. Відповідь обґрунтуйте.
Якщо X і Y незалежні випадкові величини, то Cov (X, Y) = E (X, Y) - E (X) E (Y) = E (X) E (Y) - E (X) E (Y) = 0
Якщо (# 946; ≠ 0), то
Док-во: Cov (X, Y) = Cov (X, # 945; + # 946; X) = E (X (# 945; + # 946; X)) - E (X) E (# 945; + # 946; X) = E (X # 945; + # 946; X 2) - E (X) (E (# 945;) + E (# 946; X)) = E (X # 945;) + E (# 946; X 2) - # 945; E (X) - # 946; (E (X)) 2 = # 946; (E (X 2) - (E (X)) 2) = # 946; D (X)
66. Дайте визначення неперервної випадкової величини. Чому в цьому випадку дорівнює ймовірність. де - певне число? Чи випливає з рівності для неперервної випадкової величини. що подія ніколи не настає?
Випадкова величина X називається неперервною. якщо її функція розподілу F (X) неперервна в будь-якій точці X. P (X = a), де а - певне число, є ймовірність кожного і окремого значення. P (X = a) = 0, тобто вер-ть кожного окремого значення дорівнює нулю. Однак це не означає, що подія Х = а неможливо. В результаті випробування вип. величина обов'язково прийме одне з можливих значень; зокрема, це значення може виявитися рівним а.
67. Яке розподіл називається абсолютно безперервним? Що таке щільність розподілу і яка її зв'язок з функцією розподілу? Чи може абсолютно неперервна випадкова величина мати розривну функцію щільності. Відповідь обґрунтуйте.
Випадкова величина X називається абсолютно неперервною, якщо знайдеться неотрицательная функція f (x), яка називається щільністю розподілу, така, що для a
Для функції розподілу F (x) маємо
Щільність розподілу має такі властивості:
2. (умова нормування).
3. в точці безперервності f (x).
Математичне сподівання неперервної функції знаходиться пу-тем інтегрування твори даної функції і щільності розподілу:
Довільна випадкова величина X називається зосередженою на проміжку [a, b], якщо ймовірність попадання X в даний проміжок дорівнює 1.
Щільність розподілу абсолютно неперервної випадкової величини, зосередженої на проміжку [a, b], дорівнює 0 поза [a, b].
Функцію розподілу F (x) абсолютно неперервної випадкової величини, зосередженої на проміжку [a, b], можна представити у вигляді