Як довести що число пі не залежить від довжини діаметра окружності
Ось який доказ розповів один математик. Намалюємо дві концентричні кола довільного радіуса. Радіус великому колу позначимо як R, а радіус малого кола позначимо як r. Нехай, R в n разів більше, ніж r (R = nr). Нам потрібно довести, що відношення довжини хворий окружності до R дорівнює відношенню довжини малої окружності до r. Якщо ми це доведемо, задача вирішена, тому що n у нас довільне. Доведення. Проведемо з центру Про два променя з невеликим кутом між ними. Ці промені перетнуть кожну з кіл в двох точках. З'єднаємо ці точки відрізками прямих. Ми отримаємо два подібних рівнобедрених трикутника. У них ставлення підстав дорівнює відношенню радіусів, тобто воно дорівнює n. Розділимо весь круг такими секторами. Грубо довжину кіл можна визначити як суму цих відрізків - підстав. Очевидно, що сума "великих підстав" теж буде в n раз більше суми "малих підстав". Будемо послідовно зменшувати кут і відповідно збільшувати число підстав-відрізків. Ставлення їх сум як і раніше дорівнює n. У межі при нескінченно малих кутах виходить сума нескінченно малих відрізків (тобто інтеграл). Але ця нескінченно велика сума нескінченно малих відрізків і є довжина кола. Значить, довжина великому колу в n разів більше довжини малої окружності (і в n разів більше відносини радіусів). А так як n довільне, то це відношення не залежить від радіуса. Теорема доведена. Залишилося тільки позначити це відношення буквою П, в честь першої літери імені давньогрецького математика Піфагора (Πυθαγόρας). Але традиційно прийнято використовувати малу літеру "пі".
Володимир-2 012 [56.7K]
Мушу зауважити, що число "пі" - це перша буква грецького слова "переферія" (περιφέρεια) - окружність. Це позначення придумав англійський математик Вільям Джонс в 1706 році. - більше року тому
Все залежить від метричного простору, в якому ми працюємо. Для евклідового простору це твердження вірне - за визначенням. пі є відношення довжини кола до діаметру. Тобто діаметр може бути будь-яким. Також, оскільки пі - це константа, отже вона не залежить від діаметра.
А в геометрії Лобачевського пі не є константою і залежить від діаметра. Чим більше діаметр, тим менше пі (відношення довжини кола до діаметру). Але в межі, коли діаметр прагне до нуля, як раз і вийде потрібне нам число пі для площині 3,14.
Якщо припустити (в евклідовому просторі), що пі - НЕ константа, то легко довести твердження, що це не так.
Доведення. Нехай є 2 кола, радіус 1-й - r1, другий r2, і довжина кола 1-й - C1, 2-й - C2. Припустимо, що
C1 / (2r1) - C2 / (2r2) = ε> 0. (1)
Впишемо в ці кола правильні багатокутники. Нехай їх периметри будуть P1 і P2. Для багатокутників в зв'язку з подібністю вірне твердження:
P1 / (2r1) = P2 / (2r2). Очевидно, що C1 - P1 = δ1> 0 і C2 - P2 = δ2> 0. Перетворимо (1):
C1 / (2r1) - C2 / (2r2) = (P1 + δ1) / (2r1) - (P2 + δ2) / (2r2) = δ1 / (2r1) - δ2 / (2r2) = ε. (2)
Але оскільки для будь-якого ε> 0 завжди можна підібрати таку кількість сторін багатокутників - n, що буде вірно δ1 <2r1ε, следовательно:
δ1 / (2r1) - δ2 / (2r2) <ε - δ2/(2r2) <ε, что приводит к противоречию с (2). Утверждение доказано.