Історія великої теореми Ферма
ІСТОРІЯ ВЕЛИКОЇ ТЕОРЕМИ ФЕРМА
Якось в новорічному випуску розсилки про те, як вимовляти тости, я побіжно згадав, що в кінці ХХ століття відбулася одна грандіозна подія, якого багато хто не помітив - була, нарешті доведена так звана Велика теорема Ферма. З цього приводу серед отриманих листів я виявив два відгуку від дівчат (одна з них, наскільки пам'ятаю - дев'ятикласниця Віка з Зеленограда), яких здивував цей факт.
А мене здивувало те, наскільки жваво дівчинки цікавляться проблемами сучасної математики. Тому, думаю, що не тільки дівчаткам, але і хлопчикам різного віку - від старшокласників до пенсіонерів, теж буде цікаво дізнатися історію Великої теореми.
Доказ теореми Ферма - велика подія. А тому зі словом "великий" не прийнято жартувати, то знати історію теореми, мені здається, кожен поважаючий себе оратор (а всі ми, коли говоримо - оратори) просто зобов'язаний.
Якщо так вийшло, що ви не любите математику так, як люблю її я, то деякі поглиблення в деталі переглядайте швидким поглядом. Розуміючи, що не всім Новомосковсктелям нашої розсилки цікаво блукати в математичних нетрях, я постарався не приводити ніяких формул (крім самого рівняння теореми Ферма і однієї його гіпотези) і максимально спростити освітлення деяких специфічних питань.
Як Ферма заварив кашу
Французький юрист і за сумісництвом великий математик XVII століття П'єр Ферма (1601-1665) висунув одне цікаве твердження з області теорії чисел, яке згодом отримало назву Великої (або Великий) теореми Ферма. Це одна з найвідоміших і феноменальних математичних теорем. Напевно, ажіотаж навколо неї був би не такий сильний, якби в книзі Діофанта Олександрійського (III століття) "Арифметика", яку Ферма частенько вивчав, роблячи позначки на її широких полях, і яку люб'язно зберіг для нащадків його син Семюел, що не була виявлена приблизно такий запис великого математика:
"Я маю дуже вражаючим доказом, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях".
Вона-то, цей запис, і стала причиною подальшої грандіозної метушні навколо теореми.
Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж запитаємо себе: чи дійсно він її довів або банально збрехав? Або є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, що не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?
Історія Великої теореми цікава, як пригода в часі. У 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду Х n + Y n = Z n не має рішень в цілих числах при показнику степеня n> 2. Це власне і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простий на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність.
Дещо дивним є те, що чомусь теорема спізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n = 2 - інша знаменита математична формула - теорема Піфагора, виникла на двадцять два сторіччя раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має нескінченну безліч цілочисельних рішень, наприклад, такі піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17 ) ... (27,36,45) ... (112,384,400) ... (4232, 7935, 8993) ...
Синдром Великої теореми
Хто тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь оперившийся студент вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все ніяк нікому не вдавалося. Спочатку не вдавалося сто років. Потім ще сто. Серед математиків став розвиватися масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу чи що?" і деякі з них на цьому грунті втрачали в повному розумінні цього слова.
Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди виявлялася вірна. Я знав одного енергійного програміста, який був одержимий ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (в той час частіше іменувався ЕОМ). Він вірив в успіх свого підприємства і любив примовляти: "Ще трохи - і вдарить сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети була чимала кількість такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звичайно ж, не знайшов. І ніякі комп'ютери, хоч навіть з казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (в тому числі і показники ступеня) можуть зростати до нескінченності.
Математики знають, що якщо теорема не доведена, з неї може слідувати все що завгодно, як, наприклад, це було з іншого гіпотезою Ферма. В одному зі своїх листів П'єр Ферма висловив припущення, що числа виду 2 n +1 обов'язково прості (тобто не мають цілочисельних дільників і діляться без залишку тільки на себе і на одиницю), якщо n - ступінь двійки (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 і т.д.). Ця гіпотеза Ферма прожила понад сто років - до тих пір, поки в 1732 році Леонард Ейлер не показав, що
2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 x 641
Як він в ту пору без допомоги комп'ютерів зміг знайти це число з його дільниками - одному Богу відомо. Тому Велика теорема Ферма вимагала докази, інакше вона була просто гіпотезою, і цілком могло бути, що десь там в безкрайніх числових полях загублене рішення рівняння Великої теореми.
Найвіртуозніший і плідний математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для ступенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П'єра Ферма); його послідовник в теорії чисел, Лежандр - для ступеня 5; Діріхле - для ступеня 7. Але в загальному вигляді теорема залишалася недоведеною.
На початку XX століття (1907) заможний німецький любитель математики на прізвище Вольфскель заповідав сто тисяч марок тому, хто пред'явить повне доведення теореми Ферма. Почався ажіотаж. Математичні кафедри були завалені тисячами доказів, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Кажуть, що в деяких університетах Німеччини, в які у великій кількості надходили "докази" теореми Ферма, були заготовлені бланки приблизно такого змісту:
Шановний __________________________!
У Вашому доведенні теореми Ферма на ____ сторінці в ____ рядку зверху
у формулі: __________________________ виявлена наступна помилка :,
які розсилалися невдалим здобувачам премії.
У той час в колі математиків з'явилося напівпрезирливе прізвисько - ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, але зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати силоньки в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо грюкнувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів теорему Ферма! ". Кожен ферміст, будь він хоч навіть десятитисячним по рахунку, вважав себе першим - це і було смішним. Простий зовнішній вигляд Великої теореми так сильно нагадував фермістам легку здобич, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гаусом не змогли впоратися з нею.
(Фермістів, як не дивно, існують і нині. Один з них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але до недавніх пір робив спроби - відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).
На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.
До середини ХХ століття ніяких серйозних просувань в історії Великої теореми не спостерігалося. Але незабаром в математичному житті відбулася одна цікава подія. У 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження із зовсім іншої області математики, що одержало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шимури-Вейла"), яке, на відміну від запізнілою теореми Ферма, випередило свій час.
Гіпотеза Таніями говорить: "кожної еліптичної кривої відповідає певна модулярная форма". Дане твердження для математиків того часу звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожному дереву відповідає певний метал". Неважко вгадати, як може поставитися до подібного твердження нормальна людина - вона просто не сприйме його всерйоз, що і сталося: математики дружно проігнорували гіпотезу.
Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті в XIX столітті, мають чотиривимірний вигляд, тому ми їх навіть уявити собі не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивні тим, що мають гранично можливої симетрією - їх можна транслювати (зрушувати) в будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, міняти місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їх вигляд не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві і модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в один і той же математичний ряд.
Через три роки (1958) Ютака Таніяма покінчив життя самогубством (сильні, однак, в Японії самурайські традиції). З точки зору здорового глузду - ніяк не розумний вчинок, особливо, якщо врахувати, що зовсім скоро він збирався одружитися. Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово і фізично. Взагалі-то я і зараз не розумію, навіщо це роблю ..." і так далі на трьох аркушах. Шкода, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але все генії трохи дивні - на те вони і генії (на думку чомусь спали слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж користі, як від телескопа в театрі") . Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.
Років десять про гіпотезу Таніями майже не згадували. Але на початку 70-х років вона стала популярною - її регулярно перевіряли всі, хто зміг в ній розібратися - і вона завжди підтверджувалася (як, власне, і теорема Ферма), але, як і раніше, ніхто не міг її довести.
Дивовижна зв'язок двох гіпотез
Минуло ще приблизно 15 років. У 1984 році відбулася одна ключова подія в житті математики, яке об'єднало екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведена гіпотеза Таніями, то, отже, буде доведена і Велика теорема Ферма". Іншими словами, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (тієї самої, яка фігурує і в гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І ось буквально через півтора року (1986) професор каліфорнійського університету Кеннет Рібет чітко довів теорему Фрея.
Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що, так як теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно всього-на-всього довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за сторіччя з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішили, що впоратися з гіпотезою Таніями також буде практично неможливо.
Смерть гіпотези Ферма. народження теореми
Минуло ще 8 років. Одному прогресивному англійському професорові математики з Прінстонського університету (Нью-Джерсі, США), Ендрю Уайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, кострубатий. Вайлс - кострубатий, отже, схожий на генія. Увійти в Історію, звичайно, заманливо і дуже хотілося, але Уайлс, як справжній учений, не тішився, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж ввижалися примарні докази. Тому, перш, ніж представити своє підтвердження світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також і інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Вайлс зізнався, що ніхто, крім його дружини не знав, що він працює над доказом Великої теореми.
Це, звичайно, була сенсація. Ніхто не очікував такої прудкості від маловідомого математика. Тут же з'явилася преса. Всіх терзав пекучий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, постали перед цікавими поглядами присутніх. Справжні математики, вони адже такі - дивляться на всякі рівняння і бачать в них не цифри, константи і змінні, а чують музику, подібно Моцарту, дивиться на нотний стан. Точно так же, як ми, Новомосковський книгу, дивимося на букви, але начебто як їх і не помічаємо, а відразу сприймаємо зміст тексту.
Презентація докази, здавалося, пройшла успішно - помилок в ньому не знайшли - ніхто не почув жодної фальшивої ноти (хоча більшість математиків просто втупилося на нього, як першокласники на інтеграл і нічого не зрозуміли). Все вирішили, що сталося-таки масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже і Велика теорема Ферма. Але приблизно через два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса повинна була піти в тираж, в ній було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, зауважив, що один фрагмент міркувань спирався на "систему Ейлера", але те, що спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча в цілому прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими і новаторськими.
Вайлс проаналізував ситуацію і вирішив, що програв. Можна собі уявити, як він усім своїм єством відчув, що значить "від великого до смішного один крок". "Хотів увійти в Історію, а замість цього увійшов до складу команди клоунів і комедіантів - самовпевнених фермістів" - приблизно такі думки вимотували його в той тяжкий період життя. Для нього, серйозного вченого-математика, це була трагедія, і він закинув своє підтвердження в довгий ящик.
Таким чином, в кінці ХХ століття весь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала-таки доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику (Велику) теорему Ферма і увійшов в Історію.
Подумаєш, довели якусь теорему.
Щастя першовідкривача завжди дістається комусь одному - це саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок глибоко закопаного знання. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне сторіччя формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера та Гаусса (королів математики своїх часів), Еваріста Галуа (генія, який встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп і полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки вигадливих модулярних форм, але і конвенціоналізму - філософської течії), Давида Гілберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шимура, Морделла, Фальтінг са, Ернста Куммера, Баррі Мазура, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора та інших справжніх вчених (не побоюся цих слів).
Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд з такими досягненнями ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби і політ у космос. Хоч про нього і не так широко відомо, тому що воно не потрапляє в поле наших повсякденних інтересів, як наприклад, телевізор або електрична лампочка, але воно стало спалахом наднової зірки, яка, як і всі непорушні істини, завжди буде світити людству.
А тепер давайте повернемося в початок нашої історії, згадаємо запис П'єра Ферма на полях підручника Діофанта і ще раз запитаємо себе: чи дійсно Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно, і як в будь-якій справі тут виникають різні версії:
Версія 1: Ферма довів свою теорему. (На питання: "чи мав Ферма точно таке ж доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс зауважив: "Ферма не міг мати у своєму розпорядженні таким доказом. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що в кінці ХХ століття - в ту епоху д. Артаньяна, цариця наук ще не володіла тими відкриттями (модулярні форми, теореми Таніями, Фрея та ін.), які тільки і дозволили довести Велику теорему Ферма. Звичайно, можна припустити: чим чорт не жартує - а раптом Ферма здогадався іншим шляхом? Ця версія хоч і ймовірна, але за оцінками більшості математиків, практично неможлива);
Версія 2: П'єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але в його доказі були помилки. (Тобто, сам Ферма був також і першим фермістів);
Версія 3: Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.