Інтегрування по частинах, теорія і приклади
Інтегрування по частинах - один із способів знаходження інтеграла. Суть методу полягає в наступному: якщо підінтегральна функція може бути представлена у вигляді добутку двох неперервних функцій в місці зі своєю похідною (кожна з яких може бути як елементарної функцією, так і композицією елементарних), то справедлива наступна формула:
яка називається формулою інтегрування частинами.
Передбачається, що знаходження інтеграла простіше, ніж інтеграла. В іншому випадку застосування методу невиправдано.
Доведення формули інтегрування частинами
Доведення. Для диференціала твори двох безперервних разом зі своїми похідними функцій має місце рівність:
Проинтегрируем останню рівність:
Або, якщо переписати в іншому вигляді, маємо:
Що й потрібно було довести.
Остання рівність справедливо з точністю до константи, що виникає під час інтегрування.
Отже, інтегрування по частинах полягає в тому, що підінтегральний вираз заданого інтеграла представляється якимось чином у вигляді добутку двох співмножників і (це найчастіше можна здійснити кількома способами); потім, після знаходження (знаходиться з інтеграцією) і (диференціюють вираз для), використовується формула інтегрування частинами.
При знаходженні функції інтеграцією вираження, константу можна вважати рівною нулю.
Іноді для вирішення складних інтегралів формулу інтегрування частинами доводиться використовувати кілька разів.
Для яких типів інтегралів використовують формулу
Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами.
Тут - многочлен. В даному випадку, а в якості взяти всі інші співмножники в підінтегральної функції.
Тут потрібно взяти, а тоді - все решта множники.
За можна прийняти функцію.
Як також можна взяти тригонометричну функцію.
Як в цьому випадку беремо експоненту, маємо:
Отримали інтеграл, який знаходиться методом інтегрування частинами. Тому знову його застосовуємо. Тут знову в якості беремо функцію:
Отже, прийшли до вихідного інтеграла. Запишемо інтегральне рівність (в останній серії формул підкреслені вираження):
Вирішуючи записане рівність щодо невідомого інтеграла, матимемо:
Додаємо ще константу інтегрування і остаточно маємо: