Евклідова відстань - це

В математиці термін евклидово простір може позначати один з подібних і тісно пов'язаних об'єктів:

В обох випадках, n -мірним евклидово простір зазвичай позначається, хоча часто використовується не цілком прийнятне позначення.

1. конечномерного речовий векторний простір з введеним на ньому (позитивно визначеним) скалярним твором. породжує норму:

,

в найпростішому випадку (евклидова норма):

де (в евклідовому просторі завжди можна вибрати базис. в якому вірний саме цей найпростіший варіант).

Інакше кажучи евклидово простір - конечномерное гільбертовому просторі.

2. Метричний простір. яке є конечномірні векторних простором над полем дійсних чисел з евклідової метрикою. введеної за формулою:

,

де і, тобто з функцією відстані, яку породжує описаної вище нормою.

пов'язані визначення

  • Під евклідової метрикою може розумітися метрика, описана вище, а також відповідна ріманова метрика.
  • Під локальної Евклідовому зазвичай мають на увазі те, що кожне дотичне простір ріманова різноманіття є евклидово простір з усіма наслідками, що випливають властивостями, наприклад, можливістю (по гладкості метрики) ввести в малій околиці точки координати, в яких відстань виражається (з точністю до якогось порядку ) відповідно до описаного вище.
  • Метричний простір називають локально евклідовим також якщо можливо ввести на ньому координати, в яких метрика буде евклідової (в сенсі другого визначення) усюди (або хоча б на кінцевій області) - яким, наприклад, є ріманово різноманіття нульовий кривизни.

Наочними прикладами евклідових просторів можуть служити простору:

  • розмірності 1 (речова пряма)
  • розмірності 2 (евклидова площину)
  • Евклід простір можна вважати сучасною інтерпретацією і узагальненням (тому що воно допускає розмірності більше трьох) класичної (Евклідовій) геометрії.

Можна навести й дещо абстрактні приклади:

  • простір речових поліномів ступеня, що не перевищує n. зі скалярним твором, певним як інтеграл твори за кінцевим відрізку (або по всій прямий, але з швидко спадає ваговій функцією)
  • взагалі простір всіх лінійних комбінацій кінцевого набору дійсних функцій
  • простір станів конечномерной квантової системи (або конечномерное підпростір повного простору станів) в матеріальному поданні.

Не вважається зазвичай евклідовим фізичне 4-мірний простір-час, тому що основна метрика на ньому, відповідно до звичайного в сучасній фізиці поглядом, псевдоевклидова. Хоча при бажанні евклідовская метрика може бути формально введена на ньому тим чи іншим чином (якщо не нехтувати гравітацією - то локально), що буває іноді корисно, проте вона не Лоренц-інваріантна. що тут дуже сильно знижує її цінність з точки зору сучасної фізики.

Дивитися що таке "Евклідова відстань" в інших словниках:

Евклід простір - (також евклідовой простір) в первісному значенні, простір, властивості якого описуються аксіомами геометрії Евкліда. У цьому випадку передбачається, що простір має розмірність 3. У сучасному розумінні, в більш загальному ... ... Вікіпедія

Евклід простір - простір, властивості якого описуються аксіомами геометрії Евкліда. Спрощено можна визначити евклидово простір, як простір на площині або в тривимірному обсязі, в яких задані прямокутні (декартові) координати, а ... ... Почала сучасного природознавства

Відстань Чебишева - Визначення Відстанню Чебишева між n мірними числовими векторами називається максимум модуля різниці компонент цих векторів. Відстань Чебишева задає метрику на. Це відстань нерідко позначається через. оскільки є приватним ... ... Вікіпедія

Евклід простір - (в математиці) простір, властивості якого описуються аксіомами геометрії Евкліда (Див. Евклідова геометрія). У більш загальному сенсі Е. п. Називається n мepное Векторний простір, в якому можливо ввести деякі спеціальні ... ... Велика радянська енциклопедія

Евклідовому просторі - [по імені ін. Грец. математика Евкліда (Eukleides; 3 ст. до н. е.)] простір, в т. ч. багатовимірне, в до ром можливо ввести координати х1. хп так, що відстань р (М, М) між точками М (х1. х n) і М (х 1. xn) може бути ... ... Великий енциклопедичний політехнічний словник

Метод головних компонент - (англ. Principal component analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох областях, ... ... Вікіпедія

Істинне ортогональное розкладання - Метод Головних Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох ... ... Вікіпедія

Метод Головних Компонент - (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох областях, таких як ... ... Вікіпедія

Перетворення Карунена-Лоева - Метод Головних Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один з основних способів зменшити розмірність даних, втративши найменшу кількість інформації. Винайдено К. Пірсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 р Застосовується в багатьох ... ... Вікіпедія

Схожі статті