Електромагнітні хвилі 1
16. Електромагнітні ХВИЛІ
Випишемо тут ще раз систему рівнянь Максвелла в диференціальної формі разом з матеріальними рівняннями (15.3):
Застосуємо систему рівнянь Максвелла (13.4) до однорідної (ε = const, μ = const), нейтральної (ρ = 0), непроводящей (σ = 0) середовищі. Рівняння Максвелла приймуть такий вигляд.
Наше завдання - отримати хвильові рівняння для векторів і, рішеннями яких будуть рівняння електромагнітної хвилі (порівняйте з 15.3).
16.1. Система рівнянь Максвелла для плоскої електромагнітної хвилі
Задамо напрямок осі x перпендикулярно хвильовим поверхнях. тоді:
Від координат x і z в плоскій хвилі і не залежать. Як відомо з математики:
З огляду на, що не залежить від y і z з першого рівняння першої пари:
отримаємо три скалярних рівняння:
Друге рівняння першої пари дає:
Аналогічно, з другої пари рівнянь Максвелла отримаємо:
16.1.1. Поперечність електромагнітних хвиль
Рівняння (1) і (4), (5) і (8) стверджують, що Hx і Ex не залежать від часу і координати x. тобто є однорідними постійними полями. Таким чином, змінне поле електромагнітної хвилі не має складової вздовж осі x. в напрямку якої поширюється хвиля. Це означає, що електромагнітна хвиля поперечна, тобто вектори і перпендикулярні напрямку її поширення.
16.1.2. хвильове рівняння
Для опису електромагнітної хвилі можна вибрати рівняння (2) і (7), або рівняння (3) і (6), або ті та інші.
Отримаємо хвильове рівняння для рівнянь (3) і (6):
Після зазначених стрілками замін маємо два хвильових рівняння:
16.1.2.1. Фазова швидкість електромагнітної хвилі
Коефіцієнт при другої похідної за часом, є величина, зворотна квадрату фазової швидкості хвилі (див. 15.3.2). Для електромагнітної хвилі фазова швидкість з хвильових рівнянь 16.1.2.
У вакуумі ε = mu = 1 і
Отримане значення фазової швидкості електромагнітної хвилі в вакуумі одно швидкості світла у вакуумі - с. З урахуванням цього:
16.1.2.2. Гармонійні хвилі - найпростіші рішення хвильових рівнянь
Легко перевірити, що
є рішеннями хвильових рівнянь (16.1.2). Ці рішення описують електромагнітну хвилю, у якій вектор направлений вздовж осі y. вектор - уздовж осі z. хвиля поширюється вздовж осі x. таким чином, вектори,, утворюють праву трійку.
16.1.2.3. Зв'язок між модулями векторів і електромагнітної хвилі і їх фазами
Підставивши рішення (16.1.2.2.) В рівняння (3) і (6), отримаємо з (3):
З цих рівностей слід:
1) Вектори і коливаються в однаковій фазі.
16.2. Просторова структура електромагнітної хвилі
Для фіксованого моменту часу t1 вектори і плоскою гармонійної електромагнітної хвилі можуть бути зображені наступною діаграмою:
16.3. Щільність енергії електромагнітної хвилі
16.3.1. Вектор Пойнтінга - вектор щільності потоку енергії електромагнітної хвилі
Для електромагнітної хвилі вектор щільності потоку енергії позначають буквою.
Використовуючи діаграму (16.2) величиною S можна надати векторний характер:
16.3.2. Інтенсивність електромагнітної хвилі - це середнє за часом від модуля вектора Пойнтінга
16.4. вивчення диполя
16.4.1. диполь
- це два різнойменних точкових заряди, що знаходяться на деякій відстані один від одного
(Див. 9.13.1.1).
16.4.2. Електричне і магнітне поле коливається диполя
Нехай відстань між зарядами диполя періодично змінюється з плином часу, тобто . диполь коливається. Тоді.
Електричне і магнітне поле диполя буде змінним, диполь буде випромінювати електромагнітні хвилі.
Точний розрахунок на основі рівнянь Максвелла показує, що електричне поле в цій хвилі, що розповсюджується в вакуумі:
Напрямок векторів і зображено на малюнку. Кут θ - це кут між напрямком дипольного моменту і напрямком випромінювання.