Арифметичні властивості кінцевих груп Лієва типу
Глава 1. Основні визначення і попередні результати 13
§ 1.1. Кінцеві групи Лієва типу 13
§ 1.2. Арифметичні властивості класичних груп Лієва типу 17
§ 1.3. Розпізнавання по спектру 21
Глава 2. Нескінченні серії розпізнаються ортогональних груп 30
§ 2.1. Властивості ортогональних груп 31
§ 2.2. Доказ теореми 2.2 36
§ 2.3. Доказ теореми 2.1 41
§ 2.4. Доказ теореми 2.3 42
Глава 3. Нескінченні серії розпізнаються лінійних груп 45
§ 3.1. Властивості спектрів лінійних груп 46
§ 3.2. Доказ теореми 3.1. Квазіраспознаваемость 46
§ 3.3. Завершення доведення теореми 3.1 50
§ 3.4. Доказ теореми 3.2 52
§ 3.5. Доказ теореми 3.3 56
Глава 4. Мінімальні підстановочні подання 60
§ 4.1. Позначення і попередні результати 61
§ 4.2. Лінійні групи 68
§ 4.3. Симплектична групи 70
§ 4.4. Ортогональні групи типу Вп 72
§ 4.5. Ортогональні групи типу Dn 75
§ 4.6. Ортогональні групи типу 2Dn 78
§ 4.7. Унітарні групи 80
Постановка завдання і актуальність теми дисертації.
В теорії кінцевих груп велике значення відіграють так звані арифметичні властивості групи, т. Е. Властивості, представимо числовими характеристиками. До них відносяться порядок групи і порядки її елементів, порядки і індекси різних підгруп, ступеня підстановлювальних і розмірності матричних уявлень і т. П. У термінах арифметичних властивостей можна отримати змістовне опис групи, а в деяких випадках і повністю (з точністю до ізоморфізму) охарактеризувати її в класі всіх кінцевих груп. Особливо важливим опис в термінах арифметичних властивостей стає в разі, коли ми маємо справу з нерозв'язною групою, серед композиційних чинників якої є неабелева проста група. Згідно класифікаційної теоремі все неабелева прості групи, крім спорадичних і знакозмінних, являють собою групи Лієва типу. Дисертація присвячена вивченню арифметичних властивостей кінцевих простих груп Лієва типу. У ній розглядаються дві проблеми: питання про розпізнавання цих груп по спектру і завдання опису їх мінімальних підстановлювальних уявлень.
Спектром uj кінцевої групи G називається безліч порядків її елементів. Група G називається розпізнається по спектру, якщо для будь-якої кінцевої групи Н з рівності ш (Н) = u (G) слід ізоморфізм Н
G. Іншими словами, якщо позначити через h (G) число попарно неізоморфних груп з таким же спектром, що і G, то група G распознаваема по спектру, якщо h (G) = 1. Для груп, які не є розпізнаваними, прийнята наступна термінологія: група G називається майже розпізнається по спектру, якщо 1 + 1 або є вирішуваною групою спеціального виду, або має єдиний неабелев композиційний фактор S, причому s (S) ^ s (G). Таким чином, якщо L - проста неа-Бєлєва група з s (L)> 1 і w (C) = ш то або спектр групи L має спеціальний вид, або фактор-група групи G по її можна розв'язати радикалу майже проста. Як випливає з роботи Алєєв [1], перший випадок можливий тільки для L
i3 (3), / 3 (3), 54 (3). Отже, в разі, коли L відмінна від Ьз (3), [/ з (3) і 54 (3), група G має єдиний неабелев композиційний фактор 5, причому s (S) ^ s (L); зокрема, група S міститься в списку простих груп з незв'язним графом простих чисел, який був знайдений Вільямсом [21] і Кондратьєвим [11]. Використовуючи цю інформацію можна намагатися довести, що S
На жаль, незв'язність графа простих чисел є серед кінцевих простих груп швидше винятком, ніж правилом. Загального ж підходу для доказу квазіраспознаваемості груп зі зв'язковим графом до недавнього часу просто не існувало. Однак, як було нещодавно показано Васильєвим [6], умова незв'язності графа простих чисел може бути успішно замінено на більш слабке умова. Назвемо безліч вершин графа незалежним, якщо вершини цієї множини попарно несуміжних. Найбільше число вершин в незалежних множини графа GK (G) називається нещільністю цього графа і позначається через t Якщо порядок групи G четен, то найбільше число вершин в незалежних множини графа GI ((G), що містять 2, називається 2-неплотност'ю графа GK і позначається через t (2, G).
Основний результат роботи [6] дає структурний опис кінцевих груп G з (2, G)> 1 і t (G)> 2. Доведено, що така група G име-
ет єдиний неабелев композиційний фактор S, причому або цей фактор вказано явно, або t (2, S) ^ i (2, G). Нещільності і 2-нещільності графів простих чисел всіх кінцевих неабелевих простих груп знайдені Васильєвим і Вдовіним [7]. З цих результатів випливає, що під умови теореми Васильєва потрапляють всі неабелева прості групи, крім груп 2 / з (3), / з (3), 54 (3) і деяких знакозмінних груп. Таким чином, ця теорема дозволяє пройти перший крок докази квазіраспознаваемості для найширшого класу простих груп, що включає в себе всі прості групи Лієва типу з невирішеною проблемою розпізнаваності. Крім того, вона по суті зводить другий крок докази до розгляду тільки простих груп 5 з t (2, S)> 1, а список таких груп міститься в [7]. Зрозуміло, одного цього відомості ще недостатньо для завершення докази квазіраспознаваемості, і, оскільки методи, які використовують теорему Грюнберга-Кегеля, не застосовні для груп зі зв'язковим графом простих чисел, потрібні нові методи, що спираються на зазначені теоретичні результати. Розробка таких методів - одна з основних задач дисертаційної роботи.
Мінімальним підстановлювальний поданням кінцевої групи G називається її точне підстановлювальний уявлення найменшій мірі. Мінімальна підстановлювальний уявлення простий групи G завжди транзитивно, і тому подібно поданням на безлічі Q, суміжних класів по деякій власній підгрупі Р найменшого індексу. Підгрупа Р називається стабілізатором уявлення. Число орбіт дії групи Р на П називається рангом уявлення, довжини цих орбіт - подстепенямі уявлення, а стабілізатори точок з цих орбіт - подвійними стабілізаторами уявлення.
Ступені мінімальних підстановлювальних уявлень простих класичних груп були знайдені Куперстейном [15]. Більш повний опис цих уявлень, що включало ранги, подстепені, будова стабілізаторів і подвійних стабілізаторів, було отримано Мазурова і Васильєвим [8,12]. Класичні групи в останніх двох роботах розглядалися в своєму природному матричному поданні, і для кожної серії груп завдання опису зажадала окремого рішення, що залежить від відповідної квадратичної форми. Після появи робіт Васильєва [2-4], присвячених мінімальним підстановлювальний уявленням виняткових груп Лієва типу, виникла ідея уніфікувати опису підстановлювальних уявлень класичних
груп, розглянувши класичні групи не як групи матриць, а як групи Лієва типу. Це завдання вирішується в дисертаційній роботі. Основні результати дисертації.
Доведено, що проста ортогональна група 0 ^ (2) распознаваема по спектру. Узагальнення основних ідей докази розпізнаваності даної групи стало важливим елементом докази наступного, набагато більш загального, затвердження.
Доведено, що прості ортогональні групи 02n + i (2) і OjTn + 2 (2) розпізнавані по спектру для будь-якого п = 2 m ^ 8 (спільно з А.В.Васільевим). Ці групи стали перший прикладом розпізнаються груп Лієва типу зі як завгодно великим Лієвим рангом.
Доведено, що прості ортогональні групи 0 ^ "n (2 fc) і 02n + i (2 fc) квазіраспознаваеми для будь-якого п - 2т ^ 8 і будь-якого натурального до (спільно з А.В.Васільевим).
Доведено, що прості лінійні групи Ln (2k) розпізнавані для будь-якого п = 2 m ^ 32 і будь-якого натурального до (спільно з А.В.Васільевим). Тим самим отримано перший приклад нескінченної серії розпізнаються груп зі зв'язковим графом простих чисел.
На основі подання класичних груп як груп автоморфізмів простих алгебр Лі знайдений загальний підхід до опису параметрів мінімальних підстановлювальних уявлень для всіх кінцевих простих класичних груп за винятком деяких груп малих рангу і порядку поля визначення.
Новизна і наукова значимість роботи. Всі основні результати дисертації, присвячені проблемі розпізнаваності (глави 2 і 3), є новими. У четвертому розділі розроблено новий метод знаходження параметрів мінімальних підстановлювальних уявлень класичних груп. Робота має теоретичний характер. Результати та методи роботи можуть бути використані для подальших досліджень як питання розпізнаваності груп по спектру, так і інших проблем теорії груп. Вони можуть бути включені в спецкурси для студентів і аспірантів, що спеціалізуються в області алгебри.
Методи дослідження. У роботі використовуються теорія кінцевих простих груп, теорія лінійних алгебраїчних груп, теорія груп Лієва типу, методи лінійної алгебри, а також елементи теорії чисел.
Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з 4 розділів, вступу і списку використаних джерел. Вона викладена на 92 сторінках, включає 8 таблиць і 2 малюнки, бібліографія містить 105 найменувань.